[논문 리뷰] 1992 Trieste Lectures on Topological Gauge Theory and Yang-Mills Theory

G.E. Thompson|ArXiv.org|1993. 05. 24.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 21인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 리만 곡면 위의 두 차원 양-밀스 이론에 대해 경로 적분 형식을 제시하며, 군의 특성과 카시미어 불변량을 이용해 분할 함수와 윌슨 루프 상관 함수의 명시적 표현을 유도한다. 이론은 결합 상수가 0으로 수렴할 때 양-밀스 이론의 극한을 통해 위상적 게이지 이론을 정규화함으로써, 양-밀스 이론의 방법을 통해 위상적 불변량을 구체적으로 계산할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

In these lecture notes we explain a connection between Yang-Mills theory on arbitrary Riemann surfaces and two types of topological field theory, the so called $BF$ and cohomological theories. The quantum Yang-Mills theory is solved exactly using path integral techniques. Explicit expressions, in terms of group representation theory, are obtained for the partition function and various correlation functions. In a particular limit the Yang-Mills theory devolves to the topological models and the previously determined correlation functions give topological information about the moduli spaces of flat connections. In particular, the partition function yields the volume of the moduli space for which an explicit expression is derived. These notes are self contained, with a basic introduction to the various ideas underlying the topological field theories. This includes some relatively new work on handling problems that arise in the presence of reducible connections which in turn forms the bridge between the various models under consideration. These notes are identical to those made available to participants of the 1992 summer school in Trieste, except for one or two additions added circa January 1993.

연구 동기 및 목표

• 임의의 종수를 가진 리만 곡면 위에서 두 차원 양-밀스 이론에 대한 경로 적분 접근법을 개발하여 위상적 불변량을 계산한다.
• 결합 상수 e² → 0일 때 양-밀스 이론의 극한을 취하여 위상적 게이지 이론을 정규화함으로써 구체적인 계산을 가능하게 한다.
• 임의의 종수를 가진 표면에서 수축 가능하고 수축 불가능한 윌슨 루프의 분할 함수와 상관 함수에 대해 명시적 표현을 유도한다.
• 디스크 위의 양-밀스 양자 이론을 스chrödinger 방정식과 군 G의 라플라스 연산자 및 특성과 연결한다.
• 보조 초스칼라 장을 사용하여 호로지의 특성에 대한 경로 적분 표현을 양자장론적 방법으로 유도한다.

제안 방법

• 게이지 불변 변수와 호로지 추적을 통해 리만 곡면 위의 양-밀스 이론의 경로 적분 형식을 사용하여 분할 함수와 윌슨 루프 상관 함수를 계산한다.
• 이 방법은 디스크 위의 슈뢰딩거 방정식에 기반하며, 시간 진동수 매개변수 t는 역 결합 상수 ε/2와 관련되어 있고, 파동함수는 게이지 군 G의 특성 전개로 이루어진다.
• 군 G 위의 라플라스 연산자는 2차 카시미어 불변량 c₂(λ)로 식별되며, 고유함수는 특성 χλ(g)이며, 이에 따라 시간(또는 결합 상수)에 따라 지수 감쇠가 발생한다: exp(−tc₂(λ)).
• 보조 페르미온 장 η, η̄를 사용하여 호로지 특성의 경로 적분을 유도하며, ρa(t)(η̄λaη)(t) 비례항과 ε을 포함한 정규화 항이 포함된다.
• 경로 적분의 해는 슈뢰딩거 방정식를 만족하며, Ψλ(ρ,ε) = χλ(Pexp∮ρ) exp(−ε/2 c₂(λ))로 주어지며, ε=0에서의 초기 조건을 만족한다.
• 비아벨 스토크스 정리로 표면 호로지를 곡률 적분과 연결하고, 경로 순서 지수를 통한 코어 나누기로 게이지 불변형을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 종수를 가진 리만 곡면 위의 두 차원 양-밀스 이론에서 분할 함수와 윌슨 루프 상관 함수를 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 결합 상수가 0으로 수렴할 때 양-밀스 이론이 위상적 게이지 이론을 어떻게 정규화하는가?
• RQ3 디스크 위의 슈뢰딩거 방정식의 해는 게이지 군 G의 특성과 카시미어 불변량과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 보조 페르미온 장을 사용한 호로지 특성의 경로 적분 표현은 무엇이며, 이를 통해 어떻게 타임 에볼루션을 올바르게 유도할 수 있는가?
• RQ5 게이지 변환 존재 하에서 게이지 불변 비아벨 스토크스 정리는 표면 호로지를 곡률 적분과 어떻게 연결하는가?

주요 결과

• 임의의 종수를 가진 표면에서 분할 함수와 윌슨 루프 상관 함수는 군의 특성과 카시미어 불변량을 통해 유도되었지만, 총 척도 상수는 여전히 미결정이다.
• 호로지 특성 Ψλ(ρ,ε)에 대한 경로 적분은 Ψλ(ρ,ε) = χλ(Pexp∮ρ) exp(−ε/2 c₂(λ))로 주어지며, 시간 t = ε/2에서 슈뢰딩거 방정식를 만족한다.
• 디스크 위의 파동함수 Ψ(t,g)는 기약 표현의 합으로 표현된다: Ψ(t,g) = ∑λ cλ χλ(g) exp(−t c₂(λ)), 여기서 t = ε/2이다.
• 군 G 위의 라플라스 연산자는 특성에 대해 ΔG χλ(g) = c₂(λ) χλ(g)로 작용하며, 슈뢰딩거 방정식는 계수 aλ(t)에 대해 ∂t aλ + c₂(λ)aλ = 0로 간소화된다.
• 게이지 불변 비아벨 스토크스 정리가 유도되었으며, TrPexp(∮γ A) = TrPexp(∫Γ FA^U)로 표현되며, 여기서 FA^U는 게이지 변환된 접속의 곡률이다.
• 이 방법은 특성 공식에 대한 양자장론적 유도를 제공하며, e² → 0의 극한을 통해 양-밀스 양자 이론과 위상적 불변량을 연결한다.