[논문 리뷰] 1d lattice models for the boundary of 2d "Majorana" fermion SPTs: Kramers-Wannier duality as an exact $Z_2$ symmetry

Richard A. Jones, Max A. Metlitski|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 15.

Topological Materials and Phenomena인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 $Z_2 \times Z_2^f$ 대칭을 갖는 2차원 페르미온 SPT 위상의 경계를 위한 1차원 격자 모델을 구축한다. 이 모델의 힐베르트 공간은 국소적 제약 조건으로 인해 표준적인 국소적 텐서곱 구조를 갖지 않는다. 3스ite 해밀토니안을 유도하여 정확한 $Z_2$ 크라머스-반너 이중성 대칭을 실현하고, 정확한 대각화 및 DMRG를 통한 강력한 수치적 증거를 제시하여, 이 모델이 예상되는 무한정 경계 상태인 아이징 conformal field theory를 실현함을 확인한다.

ABSTRACT

It is well known that symmetry protected topological (SPT) phases host non-trivial boundaries that cannot be mimicked in a lower-dimensional system with a conventional realization of symmetry. However, for SPT phases of bosons (fermions) within the cohomology (supercohomology) classification the boundary can be recreated without the bulk at the cost of a non-onsite symmetry action. This raises the question: can one also mimic the boundaries of SPT phases which lie outside the (super)cohomology classification? In this paper, we study this question in the context of 2+1D fermion SPTs. We focus on the root SPT phase for the symmetry group $G =Z_2 \ imes Z^f_2$. Starting with an exactly solvable model for the bulk of this phase constructed by Tarantino and Fidkowski, we derive an effective 1d lattice model for the boundary. Crucially, the Hilbert space of this 1d model does not have a local tensor product structure, but rather is obtained by placing a local constraint on a local tensor product Hilbert space. We derive the action of the $Z_2$ symmetry on this Hilbert space and find a simple 3-site Hamiltonian that respects this symmetry. We study this Hamiltonian numerically using exact diagonalization and DMRG and find strong evidence that it realizes an Ising CFT where the $Z_2$ symmetry acts as the Kramers-Wannier duality; this is the expected stable gapless boundary state of the present SPT. A simple modification of our construction realizes the boundary of the 2+1D topological superconductor protected by time-reversal symmetry ${\\cal T}$ with ${\\cal T}^2 = (-1)^{\\cal F}$.

연구 동기 및 목표

• 초수동치 분류에 속하지 않는 2차원 페르미온 SPT 위상의 경계를 기술하는 1차원 격자 모델을 구축하는 것, 특히 $G = Z_2 \times Z_2^f$의 경우.
• 대칭 작용이 비-온사이트일 때조차도, 힐베르트 공간이 국소적 텐서곱 구조를 갖지 않더라도, 경계를 부품으로 분리하여 실현할 수 있는지 보여주는 것.
• 효과적인 1차원 모델에서 $Z_2$ 대칭이 정확한 크라머스-반너 이중성으로 작용하는지 보여주는 것.
• 이 모델이 아이징 CFT를 실현하고, $Z_2$ 대칭이 이중성으로 작용함을 수치적으로 증명하여, SPT 위상의 예상되는 안정된 무한정 경계 상태와 일치하는지 확인하는 것.

제안 방법

• 타라티노와 피드코프스키의 정확히 해를 구할 수 있는 부스러기 모델을 사용하여 2+1차원 페르미온 SPT 위상의 경계를 위한 효과적인 1차원 격자 모델을 유도한다.
• 표준적인 국소적 텐서곱 구조를 깨는 국소적 제약 조건을 통해 힐베르트 공간을 구성한다.
• $Z_2$ 대칭의 제약 조건이 있는 힐베르트 공간 위에서의 작용을 정의하고, 이 대칭에 대해 불변인 3스ite 해밀토니안을 유도한다.
• 저에너지 스펙트럼과 conformal field theory 성질을 탐색하기 위해 정확한 대각화 및 DMRG 시뮬레이션을 수행한다.
• 크라머스-반너 이중성의 관점에서 대칭 작용을 분석하고, 연속 근사에서 경계 모드를 메이저라 페르미온으로 매핑한다.
• 시간역전 대칭 $\mathcal{T}^2 = (-1)^F$를 갖는 2차원 토폴로지적 초전도체로 이 구성의 일반화를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초수동치 분류에 속하지 않는 2차원 페르미온 SPT 위상의 경계가 부스러기 없이 1차원에서 실현될 수 있는가?
• RQ2 이러한 경계의 힐베르트 공간의 구조는 무엇이며, 기존의 텐서곱 힐베르트 공간과 어떻게 다를까?
• RQ3 1차원 격자 모델이 정확한 크라머스-반너 이중성 대칭을 실현할 수 있으며, 이는 무한정 아이징 CFT를 지지하는가?
• RQ4 비-온사이트인 $Z_2$ 대칭 작용이 효과적인 1차원 모델에서 어떻게 나타나며, 임계 상태를 안정화시키는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 이 1차원 효과 모델은 표준적인 텐서곱 구조를 깨는 국소적 제약 조건이 있는 힐베르트 공간 위에 구축되며, 이는 비정상적인 경계를 캐리하는 데 필수적이다.
• $Z_2$ 대칭은 1차원 모델에서 정확한 크라머스-반너 이중성으로 작용하며, 이중성 대칭은 3스ite 해밀토니안에 의해 유지된다.
• 정확한 대각화 및 DMRG 시뮬레이션을 통한 수치적 결과는 아이징 CFT와 일치하는 저에너지 스펙트럼을 보여주며, 무한정 임계 행동을 확인한다.
• 질량 항(odd under $Z_2$)이 금지된 임계점이 실현되어 자가이중성 아이징 점이 안정된다.
• 이 구성은 $G = G_b \times Z_2^f$를 갖는 다른 2차원 페르미온 SPT 위상과 시간역전 대칭 $\mathcal{T}^2 = (-1)^F$를 갖는 $p+ip$ 초전도체로 일반화된다.