[논문 리뷰] 2+1d Compact Lifshitz Theory, Tensor Gauge Theory, and Fractons

Pranay Gorantla, Ho Tat Lam외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 20.

Computational Physics and Python Applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 수정된 비라인 형식을 사용한 두 가지 다른 격자 정규화를 통해 2+1차원 콤파クト 리프시츠 장 이론을 연구하며, 서로 다른 전역 대칭성, 이상성, 그리고 기본 상태 디지너시를 드러낸다. 이는 한 정규화가 자기 dual 이론을 이룬다는 것을 입증하며, U(1) 텐서 게이지 이론과 결합할 경우 제한된 이동성과 함께 프랙톤을 실현하고, 프랙톤/라인온-탄성 이론 대칭성의 정확한 격자 실현을 제공한다.

ABSTRACT

The 2+1d continuum Lifshitz theory of a free compact scalar field plays a prominent role in a variety of quantum systems in condensed matter physics and high energy physics. It is known that in compact space, it has an infinite ground state degeneracy. In order to understand this theory better, we consider two candidate lattice regularizations of it using the modified Villain formalism. We show that these two lattice theories have significantly different global symmetries (including a dipole global symmetry), anomalies, ground state degeneracies, and dualities. In particular, one of them is self-dual. Given these theories and their global symmetries, we can couple them to corresponding gauge theories. These are two different $U(1)$ tensor gauge theories. The resulting models have excitations with restricted mobility, i.e., fractons. Finally, we give an exact lattice realization of the fracton/lineon-elasticity dualities for the Lifshitz theory, scalar and vector charge gauge theories.

연구 동기 및 목표

• 연속적인 2+1차원 콤파クト 리프시츠 이론을 이해하기 위해, 이론의 전역 대칭성으로 인해 무한한 기본 상태 디지너시를 보이는 바, 두 가지 격자 정규화를 구성하고 비교한다.
• 동일한 연속 이론의 서로 다른 격자 이산화가 서로 다른 전역 대칭성, 이상성, 위상적 성질을 초래하는 방식을 명확히 하여, 무시할 수 있는 연장성 연산자가 물리적으로 무시무시한 것으로 간주되는 것에 도전한다.
• 정규화된 리프시츠 이론을 U(1) 텐서 게이지 이론과 결합하여 제한된 이동성을 갖는 진동자인 프랙톤을 실현하고, 그 이동성 제약 조건을 규명한다.
• 프랙톤/라인온-탄성 이론 대칭성을 정확히 격자 상에서 실현하며, 스칼라 및 벡터 전하 게이지 이론과 리프시츠 이론을 연결한다.
• 기괴한 전역 대칭성을 갖는 연속 장 이론을 정의하는 데 애매함을 제거하기 위해, 그 격자 대응체를 분석한다.

제안 방법

• 수정된 비라인 형식을 사용하여 2+1차원 콤파クト 리프시츠 이론을 정사각 격자상에서 정규화함으로써 위상적 및 전역 대칭성의 구조를 유지한다.
• 두 가지 서로 다른 격자 이론을 구성한다: 하나는 스칼라 장의 라플라스 연산자에 기반한 (라플라스 $φ$-이론), 다른 하나는 분극 모멘트에 기반한 (분극 $φ$-이론), 각각 다른 전역 대칭성과 기본 상태 디지너시를 가진다.
• 유도된 U(1) 텐서 게이지 이론의 전역 대칭성—특히 분극 대칭성과 스칼라 전하 대칭성—을 식별하고 분석하며, 이상성과 결함의 이동성도 고려한다.
• 게이지 불변 결함 연산자와 전하 분포에 대한 로렌트 다항식 조건을 통해 위상적 결함(예: 프랙톤과 라인온)의 이동성을 유도하고 분석한다.
• 결함 연산자와 공간 이동에 대한 변환 성질을 매핑하여 리프시츠 이론과 텐서 게이지 이론 간의 정확한 이중성을 확립한다.
• 격자상의 다항식 표현을 사용하여 결함이 이동 가능한 조건을 분석하고, 대수적 수론(예: 로렌트 다항식의 GCD 및 기약성)을 통해 이동 제약 조건을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2+1차원 콤파クト 리프시츠 이론의 서로 다른 격자 정규화는 전역 대칭성, 이상성, 기본 상태 디지너시에서 어떻게 다를까?
• RQ2 분극 대칭성은 콤파クト 리프시츠 이론에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 라플라스 정규화와 분극 정규화 간에 그 구조는 어떻게 다를까?
• RQ3 정규화된 리프시츠 이론을 U(1) 텐서 게이지 이론과 결합했을 때 제한된 이동성을 갖는 프랙톤이 나타날 수 있는가? 그리고 그 이동성은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ4 2+1차원 U(1) 라플라스 게이지 이론에서 정사각 격자상에 있는 유한한 전하를 갖는 입자 집합은 어떤 조건에서 강체 이동이 가능한가?
• RQ5 어떤 조건에서 프랙톤/라인온-탄성 이론 대칭성이 정확히 격자상에서 실현될 수 있으며, 이 대칭성에서 기저 다항식의 구조는 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 라플라스 $φ$-이론 정규화는 특정 이중성 변환 하에서 자기 이중성을 가지며, 분극 $φ$-이론은 그렇지 않아, 유사한 연속 극한에도 불구하고 서로 다른 전역 구조를 나타낸다.
• 두 격자 이론은 서로 다른 전역 대칭성을 보인다: 라플라스 이론은 분극 대칭성을, 분극 이론은 스칼라 전하 대칭성을 가지며, 이는 서로 다른 결함 이동성 성질을 초래한다.
• 두 이론 모두 기본 상태 디지너시가 무한하나, 디지너시의 구조는 다르다: 라플라스 이론은 윈딩 수로 표시되는 디지너시를 가지며, 분극 이론은 보존된 분극 모멘트와 연결된 디지너시를 가진다.
• 2+1차원 U(1) 라플라스 게이지 이론에서, 유한한 전하 입자 집합은 자명한 초선별 섹터에 있지 않은 이상, 강체 이동이 불가능하며, 이는 로렌트 다항식의 GCD 조건이 0이 아니므로 나타난다.
• 결함의 이동성은 $X^{x_0}Y^{y_0} - 1$ 이 전하 다항식 $p(X,Y)$ 와 비자명한 공약수를 공유하는지 여부에 의해 결정되며, $p(X,Y)$ 는 단항식을 제외하고 기약이며, $X^{x_0}Y^{y_0} - 1$ 도 $γ = γ(x_0,y_0)$ 하에서 기약이므로 비자명한 강체 이동은 허용되지 않는다.
• 리프시츠 이론의 결함 연산자를 텐서 게이지 이론의 그것과 매핑함으로써 프랙톤/라인온-탄성 이론 대칭성의 정확한 격자 실현이 달성되었으며, 이 이중성은 격자 정규화 하에서도 유지된다.