[논문 리뷰] (2^n,2^n,2^n,1)-relative difference sets and their representations

Yue Zhou|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 13.

Coding theory and cryptography참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ℤ₄ⁿ에서 ℤ₂ⁿ에 상대적인 (2^n, 2^n, 2^n, 1)-상대적 차집합이 모든 비영인 a에 대해 f(x+a) + f(x) + xa가 치환인 𝔽₂ⁿ[x]에 속하는 평면 함수 f(x)에 대응함을 증명한다. 이로 유도된 사영 평면은 f가 평면일 때이고 그때에만 전반체 평면이 되며, 이러한 함수는 정확히 이차 및 비이차 케이스에 대해 완전한 분류를 제공한다.

ABSTRACT

We show that every $(2^n,2^n,2^n,1)$-relative difference set $D$ in $\Z_4^n$ relative to $\Z_2^n$ can be represented by a polynomial $f(x)\in \F_{2^n}[x]$, where $f(x+a)+f(x)+xa$ is a permutation for each nonzero $a$. We call such an $f$ a planar function on $\F_{2^n}$. The projective plane $Π$ obtained from $D$ in the way of Ganley and Spence \cite{ganley_relative_1975} is coordinatized, and we obtain necessary and sufficient conditions of $Π$ to be a presemifield plane. We also prove that a function $f$ on $\F_{2^n}$ with exactly two elements in its image set and $f(0)=0$ is planar, if and only if, $f(x+y)=f(x)+f(y)$ for any $x,y\in\F_{2^n}$.

연구 동기 및 목표

• 𝔽₂ⁿ에서 다항식 표현을 사용하여 ℤ₄ⁿ에서 ℤ₂ⁿ에 상대적인 (2^n, 2^n, 2^n, 1)-상대적 차집합을 특성화하는 것.
• 이러한 집합으로부터 유도된 사영 평면이 전반체 평면이 되는 데 필요한 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 특히 이미지 값이 정확히 두 개인 경우와 f(0) = 0인 경우를 포함하여 𝔽₂ⁿ에서의 평면 함수를 분류하는 것.
• 평면 함수와 이동-비틀린 함수 사이의 관계를 탐색하며, 이러한 RDS를 구성하는 데 있어 그 맥락을 고려하는 것.

제안 방법

• 모든 비영인 a ∈ 𝔽₂ⁿ에 대해 f(x+a) + f(x) + xa가 치환임을 만족하는 다항식 f(x) ∈ 𝔽₂ⁿ[x]로 ℤ₄ⁿ 내의 상대적 차집합 D를 표현하는 것.
• Ganley-Spence 구성법을 사용하여 평면 함수를 기반으로 한 사영 평면 Π를 계량화하기 위해 평면 삼항환을 적용하는 것.
• 𝔽₂ⁿ에서의 평면 함수 정의를 적용: f가 평면이기 위해서는 모든 a ≠ 0에 대해 x ↦ f(x+a) - f(x)가 치환임이 필요하다.
• Dembowski-Ostrom 다항식을 기반으로 곱셈 연산 x ⋆ y = ½(f(x+y) - f(x) - f(y))를 분석하여 유도된 평면의 대수적 구조를 특성화하는 것.
• 𝔽₂ⁿ에서의 치환 Π를 사용하여 이동-비틀린 함수를 구성하고, f(x,y) = ⟨x, Π(y)⟩ + g(y)가 Π가 치환일 경우 이동-비틀린이 됨을 증명하는 것.
• 비이차 이동-비틀린 함수의 존재성을 조사하고, 구성된 성분 함수 중 적어도 하나가 비이차인 경우에 대해 최대 m을 구하는 문제 2를 제기하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℤ₄ⁿ에서 ℤ₂ⁿ에 상대적인 (2^n, 2^n, 2^n, 1)-RDS로부터 유도된 사영 평면 Π가 전반체 평면이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 모든 비영인 a ∈ 𝔽₂ⁿ에 대해 f(x+a) + f(x) + xa가 치환임을 만족하는 다항식 함수 f(x) ∈ 𝔽₂ⁿ[x]는 무엇인가?
• RQ3 이미지 값이 정확히 두 개인 함수 f on 𝔽₂ⁿ이며 f(0) = 0일 때, f가 평면일 조건이 덧셈 함수일 조건과 동치인가?
• RQ4 이동-비틀린 함수의 구조는 어떠한가? 그리고 이러한 함수를 사용하여 𝔽₂ⁿ에서 비이차 평면 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ5 벡터 함수의 m개 성분 함수가 각각의 색인 집합에 대해 이동-비틀린일 수 있는 최대 m은 얼마이며, 그 중 적어도 하나는 비이차일 수 있는가?

주요 결과

• ℤ₄ⁿ에서 ℤ₂ⁿ에 상대적인 (2^n, 2^n, 2^n, 1)-RDS는 모든 비영인 a ∈ 𝔽₂ⁿ에 대해 f(x+a) + f(x) + xa가 치환임을 만족하는 평면 함수 f(x) ∈ 𝔽₂ⁿ[x]로부터 유도된다.
• 이러한 집합으로부터 유도된 사영 평면 Π는 해당 함수 f가 평면일 때이고 그때에만 전반체 평면이 된다.
• 이미지 값이 정확히 두 개인 함수 f on 𝔽₂ⁿ이며 f(0) = 0일 때, f가 평면일 조건은 덧셈 함수임과 동치이다. 즉, 모든 x,y ∈ 𝔽₂ⁿ에 대해 f(x+y) = f(x) + f(y)이다.
• 모든 치환 Π on 𝔽₂ⁿ과 임의의 함수 g에 대해 f(x,y) = ⟨x, Π(y)⟩ + g(y)는 이동-비틀린 함수를 유도한다.
• 비이차 이동-비틀린 함수는 존재한다. 예를 들어, 정리 5.1의 구성은 Π가 치환일 경우 이러한 함수를 생성한다.
• 논문은 큰 n에 대해 차수 2를 초월하는 이동-비틀린 함수가 존재함을 보이며, m개 성분 함수가 모두 이동-비틀린일 수 있는 최대 m에 대해 개방 문제를 제기한다. 이 중 적어도 하나는 비이차일 수 있다.