[논문 리뷰] 231-Avoiding Involutions and Fibonacci Numbers

Eric S. Egge, Toufik Mansour|ArXiv.org|2002. 09. 19.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 9인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 조합론적 기법과 생성함수를 사용하여 231 패턴을 피하거나 정확히 한 번만 포함하는 인볼루션을 세며, 이러한 집합의 대부분이 k-일반화 피보나치 수로 계수됨을 보여준다. 주요 기여는 제약 조건이 붙은 인볼루션과 일반화된 피보나치 수열 간의 관계를 재귀적 생성함수와 타일링 해석을 통해 systematic하게 연결하는 프레임워크를 수립한 것이다.

ABSTRACT

We use combinatorial and generating function techniques to enumerate various sets of involutions which avoid 231 or contain 231 exactly once. Interestingly, many of these enumerations can be given in terms of $k$-generalized Fibonacci numbers.

연구 동기 및 목표

• 231 패턴을 피하거나 정확히 한 번만 포함하는 인볼루션 집합을 체계적으로 세는 것.
• 조합론적 및 생성함수 기법을 통해 제약 조건이 붙은 인볼루션과 k-일반화 피보나치 수 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 특히 층상 패턴에 대해 이러한 인볼루션의 수에 대한 닫힌 형식의 생성함수를 유도하는 것.
• 정확히 한 번의 231 패턴을 포함하고 추가 패턴 제약 조건이 있는 인볼루션의 생성함수를 계산하는 재귀적 절차를 제공하는 것.
• 이전의 패턴 피避 순열 결과를 정확히 한 번의 패턴 발생을 제어하는 인볼루션의 경우로 확장하는 것.

제안 방법

• k-일반화 피보나치 수를 기반으로 한 생성함수와 재귀 관계를 사용하며, $ F_{k,n} = \sum_{i=1}^{k} F_{k,n-i} $ for $ n \geq 2 $, $ F_{k,1} = 1 $ 으로 정의된다.
• 타일링 해석을 적용: $ F_{k,n+1} $ 은 크기가 $ 1 \times 1 $ 에서 $ 1 \times k $ 인 타일로 $ 1 \times n $ 보드를 타일링하는 방법의 수를 세며.
• 231 패턴과 층상 패턴 $ k\ldots21 $ 의 위치 및 구조에 기반한 순열의 재귀적 분해를 시행한다.
• 정확히 한 번의 231 패턴을 포함하는 인볼루션에 대해 $ \mathfrak{C}_{k\ldots21}(x) = \frac{x^4}{(1 - x - \cdots - x^{k-1})^2} $ 와 같은 생성함수를 도출한다.
• 두 번째 패턴의 발생 횟수와 인볼루션 크기를 함께 추적하기 위해 다변수 생성함수 $ \mathfrak{C}_\tau(x,y) $ 를 도입한다.
• Proposition 4.2 를 사용하여 정확히 한 번의 231 패턴을 포함하는 인볼루션을 타일링 구성에 대응하는 구성요소로 분해함으로써 재귀적 세기 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 231 패턴과 다른 패턴을 피하는 인볼루션의 수를 k-일반화 피보나치 수로 어떻게 세는가?
• RQ2 정확히 한 번의 231 패턴을 포함하고 주어진 층상 패턴 $ k\ldots21 $ 을 피하는 인볼루션의 수에 대한 생성함수는 무엇인가?
• RQ3 정확히 한 번의 231 패턴과 r개의 다른 패턴 $ \tau $ 발생을 포함하는 인볼루션의 수는 $ \tau $ 의 구조에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 정확히 한 번의 231 패턴과 층상 패턴을 포함하는 인볼루션의 생성함수를 계산하는 재귀적 절차를 수립할 수 있는가?
• RQ5 층상 순열의 구조와 정확히 한 번의 231 패턴을 포함하는 인볼루션의 생성함수 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 층상 패턴 $ k\ldots21 $ 을 피하고 정확히 한 번의 231 패턴을 포함하는 인볼루션의 수, 즉 $ C_n(k\ldots21) $ 의 크기는 $ k \geq 4 $ 에 대해 $ |C_n(k\ldots21)| = \sum_{i=0}^{n-4} F_{k-1,i+1} F_{k-1,n-i-3} $ 으로 주어진다.
• 생성함수 $ \mathfrak{C}_{k\ldots21}(x) = \frac{x^4}{(1 - x - \cdots - x^{k-1})^2} $ 는 k-일반화 피보나치 수와의 직접적인 연결 고리를 보여준다.
• r ≤ k 인 경우, 정확히 한 번의 231 패턴과 r개의 패턴 $ k\ldots21 $ 발생을 포함하는 인볼루션의 수는 $ |C_n^r(k\ldots21)| = (r+1) \sum_{s_0,\ldots,s_{r+1}} \prod_{i=0}^{r+1} F_{k-1,s_i+1} $ 로 주어지며, 여기서 합은 $ s_i $ 가 모두 비음이 아닌 정수이고 총합이 $ n - kr - 4 $ 가 되는 조건을 만족한다.
• 생성함수 $ \mathfrak{C}_{k\ldots21}^r(x) = \frac{(r+1)x^{kr+4}}{(1 - x - \cdots - x^{k-1})^{r+2}} $ 는 k-일반화 피보나치 수열의 역할을 확인한다.
• 모든 층상 순열 $ \tau $ 에 대해 $ \mathfrak{C}_\tau^1(x) $ 와 $ \mathfrak{C}_\tau(x,y) $ 의 재귀 공식이 수립되며, 이는 $ \tau $ 의 마지막 블록 크기에 따라 다른 형태를 띤다.
• 결과적으로, 임의의 층상 순열 $ \tau $ 에 대해 $ C_n(\tau) $ 와 $ C_n^r(\tau) $ 의 집합이 k-일반화 피보나치 수로 세어질 수 있음을 보여주며, 패턴 피避와 선형 재귀관계 간의 기존 연결 고리를 확장한다.