[논문 리뷰] 2D reductions of the equation $u_{yy} = u_{tx} + u_yu_{xx} - u_xu_{xy}$ and their nonlocal symmetries

Pavel Holba, I. S. Krasil’shchik외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 24.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 3차원 PDE $u_{yy} = u_{tx} + u_y u_{xx} - u_x u_{xy}$의 2차원 축소를 연구하며, 특히 Gibbons-Tsarev 방정식과 관련된 다른 방정식을 다룬다. 원래 방정식의 Lax 쌍을 이용하여 커버링 공간에서 비국소 대칭을 구성하고, 이러한 대칭의 리 대칭대수의 구조가 위트 대칭대수와 동형임을 증명함으로써, 이 비선형 PDE들 내부에 깊이 있는 통합성 구조가 존재함을 밝혀낸다.

ABSTRACT

We consider the 3D equation $u_{yy} = u_{tx} + u_yu_{xx} - u_xu_{xy}$ and its 2D reductions: (1) $u_{yy} = (u_y+y)u_{xx}-u_xu_{xy}-2$ (which is equivalent to the Gibbons-Tsarev equation) and (2) $u_{yy} = (u_y+2x)u_{xx} + (y-u_x)u_{xy} -u_x$. Using reduction of the known Lax pair for the 3D equation, we describe nonlocal symmetries of~(1) and~(2) and show that the Lie algebras of these symmetries are isomorphic to the Witt algebra.

연구 동기 및 목표

• 3차원 통합 가능한 PDE $u_{yy} = u_{tx} + u_y u_{xx} - u_x u_{xy}$의 2차원 대칭 축소를 분석한다.
• Gibbons-Tsarev 방정식과 관련된 다른 방정식을 포함한 두 비선형화 불가능한 축소에서의 비국소 대칭을 식별하고 분류한다.
• 원래 방정식의 Lax 쌍을 이용하여 비국소 대칭대수의 대수적 구조를 확립한다.
• 두 축소된 방정식에 대한 비국소 대칭의 리 대칭대수가 위트 대칭대수와 동형임을 입증한다.

제안 방법

• 3차원 방정식의 Lax 쌍을 축소하여 2차원 축소에 대한 커버링 구조를 도출한다.
• 국소 대칭을 무한차원 커버링 공간으로 끌어올림을 통해 비국소 대칭을 구성한다.
• 커버링 내의 비국소 변수를 매개변수화하기 위해 생성함수 $R = \sum_{i=1}^\infty \lambda^i r_i$를 사용한다.
• 대칭 성분 $\gamma_{-2}, \gamma_{-1}, \gamma_2$의 명시적 계산 및 $\sigma^p$ 커버링 공간에서의 비국소 변수로의 끌올림을 수행한다.
• 대칭의 교환관계를 검증하여 위트 대칭대수와의 동형성을 확인한다.
• 비국소 성분을 표현하기 위해 $r_i^p$, $P_{j,k}^{(1)}$, 그리고 $p$에 대한 선형형식의 곱을 포함하는 재귀 공식을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 PDE $u_{yy} = u_{tx} + u_y u_{xx} - u_x u_{xy}$의 2차원 축소에 대한 비국소 대칭대수의 구조는 무엇인가?
• RQ2 3차원 방정식의 Lax 쌍은 어떻게 2차원 축소 방정식에서 비국소 대칭을 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 두 2차원 축소의 비국소 대칭대수는 알려진 무한차원 리 대칭대수와 동형인가?
• RQ4 커버링 $\sigma^p$에서 매개변수 $p$의 역할은 무엇이며, 대칭 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• Gibbons-Tsarev 방정식(축소 1)의 비국소 대칭들은 위트 대칭대수 $\mathfrak{W}$와 동형인 리 대칭대수를 이룬다.
• 두 번째 2차원 축소(방정식 3)의 비국소 대칭들 역시 위트 대칭대수 $\mathfrak{W}$와 동형인 리 대칭대수를 이룬다.
• $\sigma^p$ 커버링에서 비국소 대칭 $\Gamma_{-2}, \Gamma_{-1}, \Gamma_2$에 대한 명시적 공식이 유도되었으며, 이는 비국소 변수 $r_i^p$에 대한 무한급수를 포함한다.
• 중량 2인 대칭 $\gamma_2$는 명시적으로 구성되었으며, 이의 계수는 $p$, $x$, $y$, $u$, $u_x$, $u_y$, 그리고 비국소 변수에 의존한다.
• $p=2$일 때, 커버링 $\sigma^2$는 기존의 Gibbons-Tsarev 방정식의 알려진 커버링과 동치인 시스템을 제공하여 이전 결과와의 일致성을 확인한다.
• 두 축소 모두에서 리 대칭대수의 구조가 유지되며, 이는 부모 3차원 방정식의 Lax 쌍에 기반한 보편적인 대칭 메커니즘이 있음을 시사한다.