[논문 리뷰] 2x2 convexifications for convex quadratic optimization with indicator variables

Shaoning Han, Andrés Gómez외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 16.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 42인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 지시자 변수를 갖는 볼록 2차 프로그래밍에 대한 새로운 2×2 볼록화 기법을 제안하며, 원래 공간과 콘형 2차 프로그래밍 확장 형태에서 이변수 에피그래프의 볼록 클로저를 유도한다. 이는 이변수 볼록 클로저를 기본 구성 요소로 사용하여 기존 방법들—Shor의 SDP 및 퍼스펙티브 공식화 방식—보다 더 강력한 정수계획법(SDP) 리 릿레그레이션을 구성함으로써 포트폴리오 최적화 사례에 대한 계산 테스트에서 통합성 갭을 크게 감소시킨다.

ABSTRACT

In this paper, we study the convex quadratic optimization problem with indicator variables. For the bivariate case, we describe the convex hull of the epigraph in the original space of variables, and also give a conic quadratic extended formulation. Then, using the convex hull description for the bivariate case as a building block, we derive an extended SDP relaxation for the general case. This new formulation is stronger than other SDP relaxations proposed in the literature for the problem, including Shor's SDP relaxation, the optimal perspective relaxation as well as the optimal rank-one relaxation. Computational experiments indicate that the proposed formulations are quite effective in reducing the integrality gap of the optimization problems.

연구 동기 및 목표

• 비대칭 헤시안 행렬을 갖는 경우에도 강력한 볼록 리 릿레그레이션의 부족을 해결한다.
• 비음수 변수와 지시자 제약 조건을 갖는 이변수 볼록 2차 함수의 에피그래프에 대해 날카운 볼록 클로저 기술을 개발한다.
• 이변수 볼록 클로저를 기본 구성 요소로 사용하여 일반 n변수 문제에 대해 새로운 더 강력한 SDP 리 릿레그레이션을 구성한다.
• 기존 리 릿레그레이션 방식인 퍼스펙티브, Shor의 SDP, 랭크-1 리 릿레그레이션과 비교하여 제안된 공식화의 계산적 우월성을 입증한다.
• 실제 응용 분야에서 발생하는 혼합정수 2차 계획 문제에 대해 확장 가능하고 효과적인 접근법을 제공한다.

제안 방법

• 지시자 변수를 갖는 이변수 볼록 2차 함수의 에피그래프 볼록 클로저를 원래 변수 공간에서 직접 유도한다.
• 2차 원형 프로그래밍(SOCP) 표현 가능성에 기반하여 이변수 사례에 대한 콘형 2차 프로그래밍 확장 공식을 제공한다.
• Shor의 SDP 리 릿레그레이션과 (QI)에 대한 최적의 퍼스펙티브 공식화 간의 동치성을 확립하여 문헌에서 오랫동안 남아 있던 열린 문제를 해결한다.
• 기본적으로 이변수 볼록 클로저를 사용하여 기본 타당 부등식에서 이상적인 볼록 리 릿레그레이션을 구성하는 새로운 기법을 개발한다.
• 이변수 볼록 클로저 기술의 집합을 통합하여 일반 n변수 문제에 대한 새로운 SDP 리 릿레그레이션을 구성하며, 이는 이전 공식화보다 더 강력한 경계를 보장한다.
• 가능한 해를 생성하고 상한을 평가하기 위해 라운딩 히우리스틱을 구현하며, 리 릿레그레이션의 하한과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지시자 변수를 갖는 이변수 볼록 2차 함수의 에피그래프 볼록 클로저는 원래 변수 공간에서 명시적으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 이변수 사례의 볼록 클로저를 정확히 표현하는 콘형 2차 프로그래밍 확장 공식이 존재하는가?
• RQ3 제안된 SDP 리 릿레그레이션은 Shor의 SDP, 최적의 퍼스펙티브 공식화 및 기타 기존 리 릿레그레이션보다 얼마나 강력한가?
• RQ4 이변수 볼록 클로저 기술을 일반 n변수 문제에 대한 더 강력한 SDP 리 릿레그레이션을 구성하는 기본 구성 요소로 사용할 수 있는가?
• RQ5 제안된 공식화는 혼합정수 2차 계획 문제에서 통합성 갭을 얼마나 감소시키는가, 특히 포트폴리오 최적화 사례에서 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 제안된 2×2 볼록화 기법은 원래 공간과 콘형 2차 프로그래밍 확장 형태에서 모두 이변수 사례에 대해 정확한 볼록 클로저 기술을 제공한다.
• 논문은 Shor의 SDP 리 릿레그레이션과 (QI)에 대한 최적의 퍼스펙티브 공식화 간의 동치성을 증명하며, 오랫동안 남아 있던 열린 문제를 해결한다.
• 이변수 볼록 클로저를 기반으로 한 새로운 SDP 리 릿레그레이션은 Shor의 SDP, 최적의 퍼스펙티브 리 릿레그레이션, 최적의 랭크-1 리 릿레그레이션보다 엄격히 더 강력하다.
• 2010년 이후 주가 수익률 데이터에 대해, 제안된 방법(OptPairs)은 평균 최적성 갭을 OptPersp의 19.1%에서 4.2%로 감소시키며, n=150일 때 해를 구하는 데 5분 이내로 해결한다.
• 2015년 이후 데이터에 대해서는 평균 갭이 OptPersp의 50.1%에서 OptPairs의 15.5%로 감소하여 더 도전적인 사례에서도 뛰어난 성능을 보인다.
• 퍼스펙티브 공식화보다 2~3배 더 많은 시간이 소요되지만, 문제 크기와 비슷한 스케일링 성능을 보이며, n=150일 때는 분 단위 내로 최적해를 달성하여 이전 방법들에 비해 솔루션 시간에서 수개의 주기수를 뛰어넘는 성능을 발휘한다.