[논문 리뷰] 3+1d Boundaries with Gravitational Anomaly of 4+1d Invertible Topological Order for Branch-Independent Bosonic Systems

Zheyan Wan, Juven Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 22.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시공간 격자 위의 분지 독립 보손(BIB) 시스템을 도입하며, 경로 적분이 단순체 분지 구조에 대해 불변임을 보여주어 4+1차원 역전이 가능한 위상적 순서를 슈비델-블라시크 클래스 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$로 특징지을 수 있다. BIB 시스템에서는 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 위상적 순서가 비자명하지만, 일반적인 격자 보손(GLB) 시스템에서는 자명해지며, 이는 GLB 시스템에서의 역전이 가능한 위상적 순서가 방향 있는 코브로서 분류되지 않음을 시사한다. 본 연구는 중력 이상을 가진 3+1차원 격리 및 비격리 경계를 구성하며, 페르미온적 전하와 스핀을 가진 $\mathbb{Z}_2$ 게이지 이론을 포함한다. 또한 스피너 및 스피너$^c$ 구조가 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 이상을 자명하게 만들며, 더 높은 구조인 스피너$\times_{\mathbb{Z}_2}$스피너는 대통합 이론에 관련된 혼합 이상을 유도한다.

ABSTRACT

We study bosonic systems on a spacetime lattice defined by path integrals of commuting fields. We introduce branch-independent bosonic (BIB) systems, whose path integral is independent of the branch structure of the spacetime simplicial complex, even for a spacetime with boundaries. In contrast, a generic lattice bosonic (GLB) system's path integral may depend on the branch structure. We find the invertible topological order characterized by the Stiefel-Whitney cocycle (e.g., 4+1d w$_2$w$_3$) to be nontrivial for BIB systems, but this topological order and a trivial gapped tensor product state belong to the same phase for GLB systems. The invertible topological orders in GLB systems are not classified by the oriented cobordism. The branch dependence on a lattice may be related to the orthonormal frame of smooth manifolds and the framing anomaly of continuum field theories. The branch structure on a discretized lattice may be related to a frame structure on a smooth manifold that trivializes any Stiefel-Whitney classes. We construct BIB systems to realize the w$_2$w$_3$ topological order, and its 3+1d gapped or gapless boundaries. A 3+1d $\mathbb{Z}_2$ gauge theory with (1) fermionic $\mathbb{Z}_2$ gauge charge particle trivializes w$_2$ and (2) fermionic $\mathbb{Z}_2$ gauge flux line trivializes w$_3$. In particular, if the flux loop's worldsheet is unorientable, then an orientation-reversal 1d worldline corresponds to a fermion worldline carrying no $\mathbb{Z}_2$ gauge charge. Spin and Spin$^c$ structures trivialize the w$_2$w$_3$ global pure gravitational anomaly to zero (which helps to construct 3+1d $\mathbb{Z}_2$ and all-fermion U(1) gauge theories), but the Spin$^h$ and Spin$ imes_{\mathbb{Z}_2}$Spin$(n \geq 3)$ structures modify the w$_2$w$_3$ into a global mixed gauge-gravitational anomaly, which helps to constrain Grand Unifications (e.g., $n=10,18$) or construct new models.

연구 동기 및 목표

• 시공간 격자 위의 분지 독립 보손(BIB) 시스템을 정의하고, 경로 적분이 단순체의 분지 구조에 영향을 받지 않는 것을 보장하는 체계를 구축한다.
• BIB 시스템의 맥락에서 4+1차원 역전이 가능한 위상적 순서의 중력 이상, 특히 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 클래스의 역할을 조사한다.
• 페르미온적 anyon과 비자명한 스핀 구조를 포함한, $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 위상적 순서의 3+1차원 격리 및 비격리 경계를 분류하고 실현한다.
• BIB 시스템과 일반적인 격자 보손(GLB) 시스템 간의 코브로서 분류에서의 차이를 명확히 하여, GLB 시스템이 방향 있는 코브로서 분류를 통해 역전이 가능한 위상적 순서를 기술하지 못함을 보여준다.
• 스핀 구조(스피너, 스피너$^c$, 스피너$\times_{\mathbb{Z}_2}$스피너)가 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 이상에 미치는 영향을 탐구하며, 대통합 모델에 관련된 이상 보정 또는 혼합 게이지-중력 이상을 유도한다.

제안 방법

• 시공간 격자 위에서 허수 시간를 가진 보존 장의 경로 적분을 통해 분지 독립 보손(BIB) 시스템의 개념을 도입하며, 분지 구조 선택에 대해 불변성을 확보한다.
• 4+1차원 역전이 가능한 위상적 순서를 특징짓기 위해 슈비델-블라시크 클래스 $\mathrm{w}_2$ 및 $\mathrm{w}_3$를 사용하며, $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 클래스를 주요 위상적 불변량으로 삼는다.
• 스핀이 없는 세계면을 가진 $\mathbb{Z}_2$ 게이지 이론 경계를 구성하며, 이는 $\mathrm{w}_2$를 자명화하는 페르미온적 $\mathbb{Z}_2$ 전하 입자와 $\mathrm{w}_3$를 자명화하는 '페르미온적' $\mathbb{Z}_2$ 스트립 루프를 포함한다. 여기서 스트립 루프의 세계면이 비방향적이라는 것은 $\mathbb{Z}_2$ 전하 없이 페르미온적 세계선에 해당한다.
• 경계에서 경로 적분을 정의하기 위해 $\mathrm{e}^{i\pi \int_{M^{d+1}} \mathbb{Sq}^2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} + \mathrm{w}_2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1}}$ 형태의 Wess-Zumino-Witten 유사 항을 적용하며, $A^{\mathbb{Z}_2^f}$ 는 경계의 스핀 구조를 표현한다.
• 게이지 변환 $\mathrm{w}_2 \to \mathrm{w}_2 + \mathrm{d}v_1^{\mathbb{Z}_2}$, $A^{\mathbb{Z}_2^f} \to A^{\mathbb{Z}_2^f} + v_1^{\mathbb{Z}_2}$ 하에서 경로 적분이 분지에 독립적임을 보이며, 비스핀 다양체에서도 일관성을 확보한다.
• 스피너 및 스피너$^c$ 구조가 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 이상을 자명하게 만들며, 스피너$\times_{\mathbb{Z}_2}$스피너 구조는 비추상적 혼합 게이지-중력 이상으로 변형시켜 대통합 모델의 제약을 가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시공간 단순체의 분지 구조가 격자 보손 시스템의 경로 적분에 미치는 영향은 무엇이며, 분지 독립 보손(BIB) 시스템과 일반적인 격자 보손(GLB) 시스템 간의 차이는 무엇인가?
• RQ2 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 위상적 순서가 BIB 시스템에서는 비자명하지만 GLB 시스템에서는 자명한 이유는 무엇이며, 이는 방향 있는 코브로서의 분류에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ3 3+1차원 격리된 $\mathbb{Z}_2$ 게이지 이론 경계는 어떻게 4+1차원 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 위상적 순서의 중력 이상을 실현할 수 있으며, 페르미온적 anyon과 스핀 구조는 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 스피너 및 스피너$^c$ 구조는 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 이상을 어떻게 자명하게 만들며, 스피너$\times_{\mathbb{Z}_2}$스피너와 같은 더 높은 구조는 어떻게 이를 혼합 이상으로 변형시켜 대통합 이론에 관련된 중요성을 갖는가?
• RQ5 Wess-Zumino-Witten 유사 항 $\mathrm{e}^{i\pi \int_{M^{d+1}} \mathbb{Sq}^2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} + \mathrm{w}_2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1}}$ 는 어떻게 분지 독립성과 일관된 경계 이론을 보장하는가?

주요 결과

• $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 위상적 순서는 분지 독립 보손(BIB) 시스템에서는 비자명하지만, 일반적인 격자 보손(GLB) 시스템에서는 자명해지며, 이는 GLB 시스템에서의 역전이 가능한 위상적 순서가 방향 있는 코브로서 분류되지 않음을 시사한다.
• 스핀이 없는 세계면을 가진 3+1차원 격리된 $\mathbb{Z}_2$ 게이지 이론 경계를 구성하였으며, 이는 $\mathrm{w}_2$를 자명화하는 페르미온적 $\mathbb{Z}_2$ 전하 입자와 $\mathrm{w}_3$를 자명화하는 '페르미온적' $\mathbb{Z}_2$ 스트립 루프를 포함한다. 여기서 스트립 루프의 세계면이 비방향적이라는 것은 $\mathbb{Z}_2$ 전하 없이 페르미온적 세계선에 해당한다.
• 경계의 경로 적분은 $ Z = \sum_{\mathrm{d}l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} = 0} \mathrm{e}^{i\pi \left( \int_{B^d} l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} A^{\mathbb{Z}_2^f} + \int_{M^{d+1}} \mathbb{Sq}^2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} + \mathrm{w}_2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} \right)} $ 로 주어지며, $A^{\mathbb{Z}_2^f}$ 는 스핀 구조를 표현하고 분지 독립성을 보장한다.
• $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 이상은 스피너 및 스피너$^c$ 구조에 의해 자명해지지만, 스피너$\times_{\mathbb{Z}_2}$스피너 구조에 의해 비추상적 혼합 게이지-중력 이상으로 변형되며, 이는 $n=10$ 또는 $n=18$인 대통합 모델을 제약한다.
• Wess-Zumino-Witten 유사 항 $\mathrm{e}^{i\pi \int_{M^{d+1}} \mathbb{Sq}^2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} + \mathrm{w}_2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1}}$ 는 게이지 변환 $\mathrm{w}_2 \to \mathrm{w}_2 + \mathrm{d}v_1^{\mathbb{Z}_2}$, $A^{\mathbb{Z}_2^f} \to A^{\mathbb{Z}_2^f} + v_1^{\mathbb{Z}_2}$ 하에서 분지에 독립적이며, 비스핀 다양체에서도 일관성을 확보한다.
• 반정수 스핀과 페르미 통계의 존재는 $A^{\mathbb{Z}_2^f}$ 를 통해 세계선과 $\mathrm{w}_2$ 클래스가 결합될 때 발생하며, $\mathrm{w}_2 = \mathrm{d}A^{\mathbb{Z}_2^f}$ 라면 경계에서 $\mathbb{Z}_2$ 스트립 루프는 $\mathbb{Z}_2$ 전하 없이 페르미온적 세계선에 결합된다.