[논문 리뷰] 3d QHE and elasticity tetrads

Jaakko Nissinen, G. E. Volovik|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 07.

Topological Materials and Phenomena인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 3차원 결정성 양자역학적 고립체에 대한 (3+1)차원 혼합 체르노-시몬스 응답 이론을 제안한다. 여기서 탄성 테트라드 장—결정성 U(1) 위상 장의 기울기—는 전자기 U(1) 게이지 장과 결합한다. 이 이론은 결정성 대칭에 의해 보호되는 약한 위상적 불변량에 의해 양자화된 홀 전도도 응답을 예측하며, 이는 격자 변형에 대한 반응으로 나타난다. 또한 캘란-하르비이 이상 유입 메커니즘을 불완전한 결함이 있는 경우로 확장하며, 탄성 테트라드 장이 중력에 들어가면 물리적 매개변수가 차원이 없는 것으로 된다.

ABSTRACT

For two-dimensional topological insulators, the integer and intrinsic (without external magnetic field) quantum Hall effect is described by the gauge anomalous (2+1)-dimensional [2+1d] Chern-Simons (CS) response for the background gauge potential of the electromagnetic U(1) field. The Hall conductance is given by the quantized prefactor of the CS term, which is a momentum-space topological invariant. Here, we show that three-dimensional crystalline topological insulators with no other symmetries are described by a topological (3+1)-dimensional [3+1d] mixed CS term. In addition to the electromagnetic U(1) gauge field, this term contains elasticity tetrad fields $E^{ a}_{\mu}({\bf r},t) = \partial_{\mu}X^a(\mathbf{r},t)$ which are gradients of crystalline U(1) phase fields $X^a(\mathbf{r},t)$ and describe the deformations of the crystal. For a crystal in three spatial dimensions $a=1,2,3$ and the mixed axial-gravitational response contains three parameters protected by crystalline symmetries: the weak momentum-space topological invariants. The response of the Hall conductance to the deformations of the crystal is quantized in terms of these invariants. In the presence of dislocations, the anomalous 3+1d CS term describes the Callan-Harvey anomaly inflow mechanism. The response can be extended to all odd spatial dimensions. The elasticity tetrads, being the gradients of the lattice U(1) fields, have canonical dimension of inverse length. Similarly, if such tetrad fields enter general relativity, the metric becomes dimensionful, but the physical parameters, such as Newton's constant, the cosmological constant, and masses of particles, become dimensionless.

연구 동기 및 목표

• 2차원을 초월한 양자 홀 효과의 이해를 확장하기 위해 3차원 결정성 양자역학적 고립체에 대한 위상적 응답 이론을 수립하는 것.
• 탄성 테트라드 장—결정성 U(1) 위상 장의 기울기로 정의됨—이 혼합 게이지-중력 응답을 매개하는 역할를 규명하는 것.
• 격자 변형에 대한 홀 전도도 응답이 결정성 대칭에 의해 보호되는 약한 운동량 공간 위상 불변량을 통해 양자화됨을 보여주는 것.
• 캘란-하르비이 이상 유입 메커니즘을 결정성 양자역학적 고립체에 존재하는 불완전한 결함이 있는 3차원 시스템으로 일반화하는 것.
• 탄성 테트라드 장이 중력에 포함될 경우의 차원적 함의를 탐색하며, 물리적 상수가 테트라드 장이 도입됨에 따라 차원이 없는 것으로 되는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 전자기 U(1) 게이지 장과 탄성 테트라드 장 $E^{a}_{\mu} = \partial_{\mu}X^a$를 연결하는 (3+1)차원 혼합 체르노-시몬스 항을 수립한다. 여기서 $X^a$는 결정성 위상 장이다.
• 탄성 테트라드 장의 기본 차원(역길이)을 사용하여, 테트라드 장이 도입될 경우 일반 상대성 이론에서 물리적 매개변수의 차원을 유도한다.
• 격자 변형 하에서 양자화된 홀 응답을 보호하는 운동량 공간에서의 세 개의 약한 위상 불변량을 규명한다.
• 불완전한 결함 존재 시의 응답을 기술하기 위해 캘란-하르비이 이상 유입 메커니즘을 적용한다.
• 형식을 모든 홀수 차원 공간으로 확장하여 위상적 응답 구조를 일반화한다.
• 뉴턴 상수, 진공 에너지 밀도, 입자 질량의 함의를 분석하며, 테트라드 기반의 수식에서 이들이 차원이 없는 값으로 된다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 결정성 양자역학적 고립체에서의 양자 홀 효과는 격자 변형을 포함하는 위상적 응답 이론으로 어떻게 기술될 수 있는가?
• RQ2 탄성 테트라드 장—결정성 U(1) 위상 장의 기울기로 정의됨—은 어떻게 혼합 게이지-중력 응답을 매개하는가?
• RQ3 운동량 공간의 약한 위상 불변량을 통해 홀 전도도와 그 격자 변형에 대한 응답은 어떻게 양자화되는가?
• RQ4 캘란-하르비이 이상 유입 메커니즘이 결정성 양자역학적 고립체에 존재하는 불완전한 결함이 있는 3차원 시스템에서 어떻게 나타나는가?
• RQ5 일반 상대성 이론에 탄성 테트라드 장을 도입할 경우의 차원적 함의는 무엇이며, 특히 기본 물리 상수에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 3차원 결정성 양자역학적 고립체의 응답은 전자기 U(1) 게이지 장과 탄성 테트라드 장 $E^{a}_{\mu} = \partial_{\mu}X^a$를 포함하는 (3+1)차원 혼합 체르노-시몬스 항에 의해 지배된다.
• 격자 변형에 대한 홀 전도도 응답은 결정성 대칭에 의해 유도되는 세 개의 약한 운동량 공간 위상 불변량에 의해 보호되며, 이로 인해 양자화된다.
• 불완전한 결함이 존재할 경우 캘란-하르비이 이상 유입 메커니즘이 실현되며, 이는 부피의 위상적 응답과 표면 모드를 연결한다.
• 기본 차원이 역길이인 탄성 테트라드 장이 일반 상대성 이론에 도입될 경우 뉴턴 상수와 입자 질량 등의 물리적 매개변수가 차원이 없는 값이 된다.
• 이 형식은 모든 홀수 차원 공간으로 일반화되며, 응답의 위상적 구조를 유지한다.
• 차원이 있는 메트릭은 테트라드 장에서 기원하는 것으로 나타나며, 기본 상수가 이 수식에서 차원이 없는 값으로 된다.