[논문 리뷰] 3D tamed Navier-Stokes equations driven by multiplicative Lévy noise: Existence, uniqueness and large deviations

Zhao Dong, Rangrang Zhang|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 주기적 경계 조건을 갖는 다중성 레비 소음에 의해 구동되는 3D 테임드 온오크스 방정식에 대한 강한 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 약한 수렴 방법을 사용하여 해가 $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$ 공간에서의 대규모 편리 원리(Large Deviation Principle)를 증명하며, 이는 3차원에서 점프 노이즈를 갖는 확률적 편미분방정식(SPDE)에 대한 대규모 편이 이론을 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we show the existence and uniqueness of a strong solution to stochastic 3D tamed Navier-Stokes equations driven by multiplicative Levy noise with periodic boundary conditions. Then we establish the large deviation principles of the strong solution on the state space $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$, where the weak convergence approach plays a key role.

연구 동기 및 목표

• SPDE 이론에서 다소 간과된 3D 테임드 온오크스 방정식에 대한 다중성 레비 소음의 영향을 다루기 위한 연구.
• 주기적 경계 조건 하에서 강한 해의 존재성과 경로별 유일성을 확립하기 위한 목표.
• 해가 $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$ 공간에서 대규모 편이 원리(LDP)를 만족하는지 확인하기 위한 목표로, 이는 표본 경로 행동을 포괄한다.
• 3차원 공간에서 점프 유형의 노이즈를 갖는 확률적 편미분방정식(SPDE)에 대한 대규모 편이 이론을 확장하기 위한 목표.

제안 방법

• 정규성과 존재성을 보장하기 위해 비선형 감쇠항 $g_N(|u|^2)u$를 포함한 3D 테임드 온오크스 방정식을 수립한다.
• 폴란드 공간 $\mathbb{Z}$ 위의 보정된 포아송 랜덤 측도 $\tilde{\eta}$를 통해 다중성 레비 노이즈를 모델링한다.
• 통제된 과정의 수렴에 기반하여 약한 수렴 방법을 적용하여 대규모 편이 원리를 증명한다.
• 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 통제된 방정식의 가족과 그에 관련된 통제 변수를 사용하여 라플라스 원리 분석을 수행한다.
• 마팅게일 해와 경로별 유일성에 기반하여 양다와와타나베 정리의 간접적 적용을 통해 강한 해의 존재성을 확립한다.
• càdlàg 경로(좌측 극한이 존재하는 경로)의 위상에서 $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$ 공간에서의 약한 수렴 접근법을 적용하여 수렴성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기적 경계 조건을 갖는 다중성 레비 소음에 의해 구동되는 3D 테임드 온오크스 방정식에 대해 강한 해가 존재하는가?
• RQ2 동일한 조건 하에서 강한 해는 경로별로 유일한가?
• RQ3 해가 공간 $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$ 에서 대규모 편이 원리를 만족하는가?
• RQ4 약한 수렴 방법이 3차원에서 점프 노이즈를 갖는 SPDE에 성공적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 레비 노이즈의 존재가 테임드 온오크스 시스템의 표본 경로 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 주기적 경계 조건 하에서 다중성 레비 소음에 의해 구동되는 3D 테임드 온오크스 방정식의 강한 해는 존재하며, 경로별로 유일하다.
• 해가 $\mathcal{D}([0,T];\mathbb{H}^1)$ 공간에서 대규모 편이 원리(LDP)를 만족하며, 이는 약한 수렴 방법에 의해 결정된 비용 함수를 통해 확인된다.
• 통제된 과정 $\tilde{u}^\varepsilon$ 가 $[0,T]$ 에서 $\mathbb{H}^1$-노름에서 결정론적 극한 $\mathcal{G}^0(\vartheta^{\varphi})$ 로 수렴함이 입증되었다.
• 통제된 과정 $\tilde{u}^\varepsilon$ 의 극한은 스켈레톤 방정식의 해와 일치하며, 이는 라플라스 원리의 확인을 의미한다.
• 해 $\tilde{u}^\varepsilon$ 가 $\mathcal{G}^0(\vartheta^{\varphi})$ 로 법칙에 따라 수렴함을 통해 대규모 편이 원리가 검증되었다.
• 해의 점근적 등가성 확보를 위해 $\tilde{Y}^\varepsilon$ 가 $\mathbb{H}^1$ 과 $L^2([0,T];\mathbb{H}^2)$ 에서 0으로 수렴함을 이용한다.