[논문 리뷰] 3SUM Hardness in (Dynamic) Data Structures.

Tsvi Kopelowitz, Seth Pettie외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 24.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 38인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 3SUM 추측을 바탕으로 다수의 동적 및 정적 데이터 구조 문제에 대해 다항 조건부 하한을 확립하며, 3SUM과 Convolution3SUM을 Pätraşcu의 문제로의 새로운 감소를 통해 이를 수행한다. 이는 이전의 하한 결과를 강화하고 동적 연결성, 문서 검색, 거리 오라클 등 여러 문제에 대해 거의 날카로운 하한을 증명함으로써, 데이터 구조에서 3SUM-난이도의 이해를 발전시킨다.

ABSTRACT

We prove lower bounds for several (dynamic) data structure problems conditioned on the well known conjecture that 3SUM cannot be solved in O(n2−Ω(1)) time. This continues a line of work that was initiated by Pǎtraşcu [STOC 2010] and strengthened recently by Abboud and Vassilevska-Williams [FOCS 2014]. The problems we consider are from several subfields of algorithms, including text indexing, dynamic and fault tolerant graph problems, and distance oracles. In particular we prove polynomial lower bounds for the data structure version of the following problems: Dictionary Matching with Gaps, Document Retrieval problems with more than one pattern or an excluded pattern, Maximum Cardinality Matching in bipartite graphs (improving known lower bounds), d-failure Connectivity Oracles, Preprocessing for Induced Subgraphs, and Distance Oracles for Colors. Our lower bounds are based on several reductions from 3SUM to a special set intersection problem introduced by Pǎtraşcu, which we call Pǎtraşcu’s Problem. In particular, we provide a new reduction from 3SUM to Pǎtraşcu’s Problem which allows us to obtain stronger conditional lower bounds for (some) problems that have already been shown to be 3SUM hard, and for several of the problems examined here. Our other lower bounds are based on reductions from the Convolution3SUM problem, which was introduced by Pǎtraşcu. We also prove that up to a logarithmic factor, the Convolution3SUM problem is equivalent to 3SUM when the inputs are integers. A previous reduction of Pǎtraşcu shows that a subquadratic algorithm for Convolu-tion3SUM implies a similarly subquadratic 3SUM algorithm, but not that the two problems are asymptotically equivalent or nearly equivalent. 1

연구 동기 및 목표

• 3SUM 추측을 바탕으로 동적 및 정적 데이터 구조 문제에 대해 더 강력한 조건부 하한을 확립하기 위해.
• 텍스트 색인, 그래프 알고리즘, 거리 오라클 분야의 새로운 문제들로 3SUM 난이도의 영향을 확장하기 위해.
• 3SUM과 Convolution3SUM을 Pätraşcu의 문제로의 새로운 감소를 개발하여 더 날카로운 하한을 가능하게 하기 위해.
• 정수 입력에 대해 Convolution3SUM과 3SUM이 점근적으로 동일한 정도로 등가임을 보여주기 위해(로그 상수 요소를 제외하고).
• 최대 이분 매칭 및 d-실패 연결성 오라클과 같은 문제들에 대해 기존의 하한을 향상시키기 위해.

제안 방법

• 3SUM을 Pätraşcu의 문제로의 새로운 감소를 도입하여, 기존의 3SUM-난이도 문제들에 대해 더 강력한 조건부 하한을 가능하게 한다.
• Convolution3SUM에서의 감소를 사용하여 이전에 3SUM-난이도로 알려지지 않은 문제들에 하한을 확립한다.
• Pätraşcu의 문제를 중심 중간 문제로 활용하여 감소를 통합하고 강화한다.
• 정수 입력에 대해 Convolution3SUM와 3SUM이 점근적으로 동일한 정도로 등가임을 보여준다(로그 상수 요소를 제외하고).
• 3SUM 추측을 기반으로 한 조건부 난이도 기법을 활용하여 다항 하한을 유도한다.
• Abboud와 Vassilevska-Williams의 기존 난이도 결과를 활용하여 기존 하한 프레임워크를 확장하고 정교화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3SUM 추측 하에서 동적 및 정적 데이터 구조 문제에 대해 더 강력한 다항 하한을 확립할 수 있는가?
• RQ2 3SUM과 Convolution3SUM을 Pätraşcu의 문제로의 감소는 어떻게 더 날카로운 하한을 도출하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 정수 입력에 대해 Convolution3SUM와 3SUM는 어느 정도 점근적으로 동일한가?
• RQ4 Pätraşcu의 문제의 프레임워크는 기존의 3SUM-난이도 결과를 통합하고 강화하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 이 새로운 감소를 통해 어떤 새로운 데이터 구조 문제들이 3SUM-난이도로 입증될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 간격이 있는 사전 매칭의 데이터 구조 버전에 대해 다항 하한을 증명하며, 이 문제의 복잡도에 대한 이해를 향상시켰다.
• 다중 또는 배제 패턴을 포함한 문서 검색에 대해 새로운 조건부 하한을 확립하여 이전 결과를 초월한다.
• 새로운 감소 프레임워크를 사용하여 동적 환경에서 최대 카디널리티 이분 매칭에 대해 기존 하한을 향상시켰다.
• 3SUM 추측 하에서 d-실패 연결성 오라클 및 유도된 부분그래프에 대한 사전처리에 대해 처음으로 다항 하한을 제공한다.
• 논문은 정수 입력에 대해 Convolution3SUM와 3SUM가 점근적으로 동일한 정도로 등가임을 보여주며, 조건부 복잡도 이론의 핵심 질문을 해결한다.
• 3SUM에서 Pätraşcu의 문제로의 새로운 감소는 이전에 3SUM-난이도로 알려진 문제들에 대해 더 강력한 하한을 가능하게 한다.