[논문 리뷰] 4 A PRIORI ESTIMATES AND APPLICATION TO THE SYMMETRY OF SOLUTIONS FOR CRITICAL p–LAPLACE EQUATIONS

Jérôme Vétois|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 17.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 36인용 수 81

한 줄 요약

이 논문은 R^n에서 임계 p-라플라스 방정식의 해에 대해 날카로운 점별 사전 추정을 수립하며, 해와 그 기울기의 감쇠율을 증명한다. 약한 레베그 공간 유계성, 스케일링 기법, 하르нак형 부등식을 조합하여, 기존의 반지름 대칭 결과를 1 < p < 2의 전체 범위로 확장하는 명시적인 감쇠율을 도출한다. 이는 D^{1,p}(R^n) 내에서 양의 해에 대해 −Δ_p u = u^{p^*-1}의 유일한 양의 해가 알려진 반지름 대칭 해임을 확인한다.

ABSTRACT

We establish pointwise a priori estimates for solutions in $D^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ of equations of type $-\Delta_pu=f(x,u)$, where $p\in(1,n)$, $\Delta_p:=\mbox{div}\big(\left| abla u ight|^{p-2} abla u\big)$ is the $p$-Laplace operator, and $f$ is a Caratheodory function with critical Sobolev growth. In the case of positive solutions, our estimates allow us to extend previous radial symmetry results. In particular, by combining our results and a result of Damascelli-Ramaswamy, we are able to extend a recent result of Damascelli-Merch\'an-Montoro-Sciunzi on the symmetry of positive solutions in $D^{1,p}(\mathbb{R}^n)$ of the equation $-\Delta_pu=u^{p^*-1}$, where $p^*:=np/(n-p)$.

연구 동기 및 목표

• D^{1,p}(R^n) 내의 임계 p-라플라스 방정식 해에 대해 비선형성 f(x,u)가 임계 소볼레프 성장 조건을 만족할 때 점별 사전 추정을 수립한다.
• 이전에 알려진 범위 2n/(n+2) ≤ p < 2를 초월하여, 양의 해에 대한 반지름 대칭 결과를 1 < p < 2 전체 범위로 확장한다.
• −Δ_p u = u^{p^*-1}의 D^{1,p}(R^n) 내에서 유일한 양의 해가 Guedda–Véron의 알려진 반지름 대칭 해임을 증명한다.
• 이동 평면 방법을 통한 대칭성 증명에 필수적인 사전 감쇠 추정을 제공한다.
• 스케일링에 대해 날카로운 상한과 하한을 포함한 정밀한 감쇠 추정을 제공하여 전역 콤팩트니스 추론에 필수적이다.

제안 방법

• 측도 이론적 접근과 절단 기법을 활용한 약한 형태에 대한 전역 L^{p^*-1,∞} 유계성 추론.
• 방정식에 스케일링을 적용하여 무한대에서의 점근적 행동을 분석하고, 전체 공간에서의 극한 문제로 변환한다.
• Poláčik–Quittner–Souplet의 이중성 성질을 활용해 링형 영역 내 해의 성장률을 통제한다.
• Serrin과 Trudinger의 결과를 바탕으로 링형 영역에서 하르нак 부등식을 수립하여 큰 링형 영역에서 상한과 하한을 비교할 수 있도록 한다.
• 스케일링 추론과 하르нак 추정, 보간을 조합하여 |u(x)|와 |∇u(x)|의 날카로운 상한을 도출한다.
• 에너지 적분 ∫ f(x,u)dx의 하한과 링형 영역에서의 하르нак 부등식을 결합하여 양의 해에 대한 하한을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 비선형성을 갖는 R^n에서의 임계 p-라플라스 방정식 해에 대해 날카로운 점별 감쇠 추정은 무엇인가?
• RQ2 사전 추정은 양의 해에 대해 1 < p < 2 전체 범위로 반지름 대칭 결과를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 D^{1,p}(R^n) 내에서 −Δ_p u = u^{p^*-1}의 해의 정확한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ4 방정식의 스케일링에 따라 해와 기울기의 감쇠율을 어떻게 정량화할 수 있는가?
• RQ5 링형 영역에서의 하르нак 부등식은 양의 해에 대해 어떤 조건에서 하한을 유도하는가?

주요 결과

• 해 u는 모든 x ∈ R^n에 대해 |u(x)| ≤ C₀ (1 + |x|)^{-(n−p)/(p−1)} 및 |∇u(x)| ≤ C₀ (1 + |x|)^{-(n−1)/(p−1)}를 만족한다.
• 상수 C₀는 n, p, Λ, 그리고 u의 L^{p^*-1,∞}(R^n) 및 W^{1,∞}(B(0,3r))에서의 노름에만 의존한다.
• ∫_{R^n} f(x,u) dx > 0인 양의 해에 대해, u(x) ≥ C₁ (1 + |x|)^{-(n−p)/(p−1)}의 하한이 성립하며, C₁는 n, p, λ, Λ 및 u의 하한에 의존한다.
• 링형 영역에서의 하르нак 부등식은 모든 R ≥ r에 대해 sup_{2R<|x|<5R} u(x) ≤ c₄ inf_{2R<|x|<5R} u(x)를 보장하며, c₄는 R에 독립적이다.
• 사전 추정과 Damascelli–Ramaswamy, Li의 결과를 조합하여, −Δ_p u = u^{p^*-1}의 D^{1,p}(R^n) 내 모든 양의 해가 반지름 대칭이면서 엄격히 감소함을 보였다.
• 보조정리 1.3은 Guedda–Véron 해 (1.10)가 1 < p < 2일 때 D^{1,p}(R^n) 내에서의 유일한 양의 해임을 확인한다.