[논문 리뷰] 4d N=1 from 6d (1,0)

Shlomo S. Razamat, Cumrun Vafa외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 28.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 6차원 $(1,0)$ SCFT를 리만 곡면 위에(compactify)하여 4차원 ${\cal N}=1$ 초등방형(field theory, SCFTs)을 구성하기 위한 기하학적 프레임워크를 수립한다. 이는 초등방형 다양체가 리만 곡면의 복소 구조 모듈리와 6차원의 풍미 대칭에 대한 평탄한 접속에 의해 결정됨을 보여주며, 두 개의 M5 브레인들이 $\mathbb{Z}_2$ 특이점 위에 있는 경우에 대해 애너멀리와 지수를 명시적으로 계산하여 6차원 기대치와 일관됨을 확인한다.

ABSTRACT

We study the geometry of 4d N=1 SCFT's arising from compactification of 6d (1,0) SCFT's on a Riemann surface. We show that the conformal manifold of the resulting theory is characterized, in addition to moduli of complex structure of the Riemann surface, by the choice of a connection for a vector bundle on the surface arising from flavor symmetries in 6d. We exemplify this by considering the case of 4d N=1 SCFT's arising from M5 branes probing Z_k singularity compactified on a Riemann surface. In particular, we study in detail the four dimensional theories arising in the case of two M5 branes on Z_2 singularity. We compute the conformal anomalies and indices of such theories in 4d and find that they are consistent with expectations based on anomaly and the moduli structure derived from the 6 dimensional perspective.

연구 동기 및 목표

• 6차원 $(1,0)$ SCFT의 compactification 데이터와 그로 유도된 4차원 ${\cal N}=1$ SCFT 사이의 직접적 대응관계를 수립하기 위해.
• compactification으로 유도된 4차원 ${\cal N}=1$ SCFT의 초등방형 다양체를 특성화하여, 이가 리만 곡면의 복소 구조 모듈리와 풍미 대칭에 대한 평탄한 접속에 의존함을 보여주기 위해.
• 6차원 애너멀리 다항식의 감소와 강한 결합 상수 라그랑지안 기술을 모두 사용하여 4차원에서의 초등방형 애너멀리와 초대칭 지수를 계산하고 검증하기 위해.
• 특히 두 개의 M5 브레인들이 $\mathbb{Z}_2$ 특이점 위에 있는 경우를 포함한 명시적 예시를 통해 6차원과 4차원 데이터 간의 일관성을 보여주기 위해.
• 4차원 이론의 이중성 성질이 초대칭 지수를 통해 TQFT 유사 구조와 차분 연산자의 고유함수에 의해 암묵적으로 포함되어 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 초등방형 다양체 차원은 $\text{dim}{\cal M}_{g,0} = 3g-3 + (g-1)\text{dim}\,G^{\text{max}} + \text{dim}\,L$ 로 유도되며, 여기서 $G^{\text{max}} = L \times G'$ 이고, $L$ 은 아벨이고 $G'$ 는 비아벨이다.
• 4차원의 애너멀리는 리만 곡면 위에 6차원 애너멀리 다항식을 통합하여 계산되며, $c_1(L) \in \mathbb{Z}^{\text{dim}(L)}$ 의 플럭스 기여를 포함한다.
• 강한 결합 상수 SCFT로 유도되는 약한 결합 상수 라그랑지안을 사용하며, 강한 결합 영역에서 전역 대칭이 증가한다.
• 초대칭 지수는 차분 연산자의 고유함수 $\psi_\lambda$ 를 사용하여 계산되며, 지수는 $\lambda$ 로 표시된 표현들에 대한 합으로 표현되며, 이는 이중성 구조를 암시한다.
• 최대 구멍이 최소 구멍으로 분리될 때 지수 구조가 곱 항등식을 만족함을 보여주며, 특히 $G^{\text{max}} = so(5) \times u(1)$ 의 경우에 대해 성립한다.
• 고유함수 $\hat{\psi}_\lambda$ 를 위한 비선형 적분 방정식이 유도되어 TQFT 방법을 통해 정확한 해를 구할 수 있는 잠재적 가능성 제공.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 6차원 $(1,0)$ compactification으로 유도된 4차원 ${\cal N}=1$ SCFT의 초등방형 다양체 모듈러스는 리만 곡면과 풍미 대칭 접속에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 6차원에서 아벨 풍미 대칭에 대한 플럭스 $c_1(L)$ 과 그로 유도된 4차원 애너멀리 계수 및 초등방형 다양체 차원 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 이러한 4차원 SCFT의 초대칭 지수는 어떻게 계산할 수 있으며, 이는 이중성과 구멍의 구조에 대해 무엇을 드러내는가?
• RQ4 4차원 라그랑지안 기반으로 계산된 애너멀리와 지수는 6차원 애너멀리 다항식 감소로부터 유도된 것과 어느 정도 일치하는가?
• RQ5 $G^{\text{max}} = so(5) \times u(1)$ 의 지수 구조를 사용하여 차분 연산자의 고유함수 간에 비트리비얼한 항등식을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 구면 $g$ 의 리만 곡면에 구멍이 없을 경우 초등방형 다양체의 차원은 $\text{dim}{\cal M}_{g,0} = 3g-3 + (g-1)\text{dim}\,G^{\text{max}} + \text{dim}\,L$ 으로 주어지며, $(g-1)$ 의 $-1$ 항은 기본군과 비아벨 게이지 대칭으로 인해 발생한다.
• 구면 $g > 1$ 인 리만 곡면 위에 두 개의 M5 브레인들이 $\mathbb{Z}_2$ 특이점 위에 있는 경우, 4차원 라그랑지안으로부터 계산된 애너멀리와 중심 상수는 플럭스 $c_1(L)$ 를 포함한 6차원 애너멀리 다항식을 곡면에 통합하여 얻은 결과와 일치한다.
• 4차원 이론의 초대칭 지수는 표현에 대한 합으로 표현되며, $\mathcal{I}_{g,s} = \sum_{\lambda} (C_\lambda(t,\gamma))^{2g-2+s} \prod_{j=1}^s \psi_\lambda(\mathbf{u}_j; t,1,1)$ 로 주어지며, 이는 이중성과 구멍의 구조를 암시한다.
• 만약 $\beta = \gamma = 1$ 이면, 두 개의 최소 구멍 지수의 곱 $\phi_\lambda(\delta; t,1,1)^2$ 는 $C_\lambda(t) \psi_\lambda(\delta\alpha, \delta/\alpha; t,1,1)$ 와 같으며, 이는 두 개의 최소 구멍이 하나의 최대 구멍으로 조합됨을 보여준다.
• 고유함수 $\hat{\psi}_\lambda$ 를 위한 비선형 적분 방정식이 유도되었으며, 이는 두 개의 $\hat{\psi}_\lambda$ 함수의 곱이 네 구멍이 있는 구면의 지수에 대한 루프 적분과 관련되어 있음을 보여주며, 해법 가능한 구조를 암시한다.
• so(5) \times u(1) 이론의 지수 구조는 TQFT 유사 조합 법칙을 만족하며, 세 개의 최대 구멍이 있는 구면의 지수는 $\mathcal{I} = \sum_{\lambda} C_\lambda(t) \psi_\lambda(\mathbf{u}; t,1,1) \psi_\lambda(\mathbf{v}; t,1,1) \psi_\lambda(\mathbf{w}; t,1,1)$ 로 주어진다.