[논문 리뷰] 6-qubit Optimal Clifford Circuits

Sergey Bravyi, Joseph A. Latone외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 6 큐비트 클리포드 군 원소 전체에 대해 최적의 클리포드 회로를 합성하기 위한 확장 가능한 알고리즘과 C++ 구현을 제시한다. 이는 표준형 대표자들로 구성된 2.1TB 데이터베이스를 통해 밀리초 이내의 회로 추출을 가능하게 하며, 최초로 6 큐비트 클리포드 회로의 완전한 최적 합성을 실현한다. 이는 CNOT만을 사용하는 회로에 비해 양자 우월성을 입증하고, 최대 4 큐비트까지의 최적 2-디자인을 구성한다.

ABSTRACT

Clifford group lies at the core of quantum computation -- it underlies quantum error correction, its elements can be used to perform magic state distillation and they form randomized benchmarking protocols, Clifford group is used to study quantum entanglement, and more. The ability to utilize Clifford group elements in practice relies heavily on the efficiency of their circuit-level implementation. Finding short circuits is a hard problem; despite Clifford group being finite, its size grows quickly with the number of qubits $n$, limiting known optimal implementations to $n{=}4$ qubits. For $n{=}6$, the number of Clifford group elements is about $2.1{\cdot}10^{23}$. In this paper, we report a set of algorithms, along with their C/C++ implementation, that implicitly synthesize optimal circuits for all 6-qubit Clifford group elements by storing a subset of the latter in a database of size 2.1TB (1KB=1024B). We demonstrate how to extract arbitrary optimal 6-qubit Clifford circuit in $0.0009358$ and $0.0006274$ seconds using consumer- and enterprise-grade computers (hardware) respectively, while relying on this database.

연구 동기 및 목표

• 약 2.1×10²³개의 6 큐비트 클리포드 군 원소를 효율적이고 최적으로 합성할 수 있도록 하며, 이는 직접적으로 합성하기에는 비현실적인 수준이다.
• 클리포드 군의 지수적 증가를 극복하기 위해 유사한 최적의 회로 구조를 가진 등가 클래스로 유니터리들을 분류한다.
• 소비자 및 기업용 하드웨어에서 실시간으로 최적의 회로를 검색할 수 있도록 실용적인 데이터베이스와 인덱싱 시스템을 개발한다.
• 클리포드 회로가 CNOT만을 사용하는 회로에 비해 어떤 경우에 양자 우월성을 보일 수 있는지 새로운 사례를 확립하고, 최대 4 큐비트까지의 최적 클리포드 2-디자인을 계산한다.
• 이전에 알려진 4 큼비트의 한계를 초월하여 최적의 클리포드 회로 합성에 확장 가능한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 이 방법은 국소 클리포드 연산에 대한 대칭성과 불변성을 활용하여, 동일한 최적의 회로 구조를 공유하는 6 큐비트 클리포드 군을 등가 클래스로 분할함으로써 검색 공간을 줄인다.
• 각 클래스에 대해 표준형 대표자를 사용하며, 이는 각 유니터리를 고유한 형태로 정규화하는 체계적인 변환을 통해 계산된다. 이를 통해 데이터베이스 인덱싱을 효율적으로 수행할 수 있다.
• 알고리즘은 군 이론 기법, 심플렉틱 행렬 조작, 그리고 효율적인 데이터 구조를 조합하여, 모든 표준형 대표자에 대한 최적의 회로를 사전에 계산하고 저장한다.
• 고성능 컴퓨팅(HPC)을 사용하여 2.1TB의 표준형 대표자 데이터베이스를 구축하였으며, 빠른 검색을 위해 RAM에 2.5GB의 인덱스를 저장하였다.
• 최적화된 검색을 통해 회로 추출 속도를 향상시켰다: 소비자 하드웨어에서 0.0009358초, 기업용 시스템에서 0.0006274초의 시간이 소요된다.
• 등가 클래스의 최적 회로는 국소 클리포드 연산을 사용해 표준형에서 재구성될 수 있다는 점을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 6 큐비트 클리포드 유니터리의 구현에 필요한 최대 CNOT 게이트 수는 얼마인가?
• RQ2 클리포드 회로는 CNOT만을 사용하는 회로에 비해 게이트 수 효율성 측면에서 양자 우월성을 제공할 수 있는가?
• RQ3 6 큐비트 클리포드 유니터리의 2-디자인에 대한 최소 평균 게이트 비용은 얼마이며, 전체 클리포드 군과 비교해보면 어떠한가?
• RQ4 어떻게 6 큐비트 클리포드 군을 동형 최적 회로 구조를 가진 등가 클래스로 분할할 수 있는가?
• RQ5 2-, 3-, 4 큼비트 클리포드 군에 대한 최적의 2-디자인은 무엇이며, 각각의 평균 게이트 비용은 얼마인가?

주요 결과

• 모든 6 큼비트 클리포드 유니터리를 실현하기 위해 필요한 최대 CNOT 게이트 수는 24개이며, 게이트 수 분포는 0에서 24까지 범위를 가진다.
• 전체 6 큼비트 클리포드 군의 평균 게이트 비용은 약 12.5이며, 표준편차는 약 3.5이다.
• 2, 3, 4 큼비트에 대해 최적의 2-디자인을 계산하였으며, 평균 비용은 각각 1.5, 3.12363, 5.08034로, 전체 클리포드 군의 평균 비용보다 현저히 낮다.
• 이 방법은 소비자용 하드웨어에서 0.0009358초, 기업용 시스템에서 0.0006274초의 시간에 최적의 회로 추출을 가능하게 하여, 밀리초 이내 성능을 입증한다.
• 새로운 양자 우월성 사례가 입증되었다: 클리포드 회로는 일부 유니터리를 CNOT만을 사용하는 회로보다 더 적은 CNOT 게이트로도 구현할 수 있다.
• 표준형 대표자로 구성된 2.1TB의 데이터베이스는 최적의 6 큼비트 클리포드 회로의 완전한 합성을 가능하게 하며, 이는 기존의 최적 합성 한계를 4 큼비트에서 6 큼비트로 확장한다.