[논문 리뷰] A ℓ1-PREDUAL WHICH IS NOT ISOMETRIC TO A QUOTIENT OF C(α)

Dale E. Alspach|arXiv (Cornell University)|1992. 04. 27.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 5인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 K가 가산 컴act 거리 공간일 때, 모든 ℓ¹-예비공간이 C(K) 공간의 몫공간과 등장하는 것은 아님을 보여주며, Johnson과 Zippin의 이전 결과인 L¹(μ)-예비공간의 경우와 대비된다. 이는 어떤 가산 순서수 α에 대해서도 C(α)의 몫공간으로 표현될 수 없는 ℓ¹-예비공간을 구성함으로써, L¹(μ)-예비공간 정리의 자연스러운 일반화가 ℓ¹ 설정에서는 성립하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

Abstract. About twenty years ago Johnson and Zippin showed that every separable L1(µ)-predual was isometric to a quotient of C(∆), where ∆ is the Cantor set. In this note we will show that the natural analogue of the theorem for ℓ1-preduals does not hold. We will show that there are many ℓ1–preduals which are not isometric to a quotient of any C(K)-space with K a countable compact metric space. We also prove some general results about the relationship between ℓ1-preduals and quotients of C(K)-spaces with K a countable compact metric space. About 20 years ago Johnson and Zippin [J-Z] proved the following theorem. Theorem. Suppose that X is a separable L1(µ)-predual, then there is subspace Y of C(∆), where ∆ is the Cantor set, such that X is isometric to C(∆)/Y. Because the space X might be C(∆), C(∆) is the smallest L1(µ)-predual that one could use for such a result. If we consider the class of ℓ1-preduals then it is conceivable that a smaller space might be sufficient although the space would need to depend on some measurement of the size of the ℓ1-predual. A natural class of spaces to consider is the spaces C(α) where α is a countable ordinal. (This is the

연구 동기 및 목표

• L¹(μ)-예비공간에 대한 고전적 결과가 C(∆)의 몫공간과 등장한다고 하는 것을 ℓ¹-예비공간으로 확장하는지 조사하는 것.
• ℓ¹-예비공간이 가산 컴act 거리 공간 K에 대해 C(K) 공간의 몫공간으로 표현될 수 있는지 결정하는 것.
• 특히 등장하는 표현의 맥락에서, ℓ¹-예비공간과 C(K)의 몫공간 사이의 구조적 차이를 탐색하는 것.
• 가산이고 컴 pact인 K에 대해 ℓ¹-예비공간과 C(K)의 몫공간 간의 관계에 대한 일반적 결과를 수립하는 것.
• 모든 가산 순서수 α와 임의의 닫힌 부분공간 Y에 대해 C(α)/Y와 등장하지 않는 ℓ¹-예비공간의 구체적 예를 구성하는 것.

제안 방법

• ℓ¹-예비공간의 구조를 분석하기 위해 함수해석학 및 바나흐 공간 이론의 기법을 적응하는 것.
• 특히 가산 순서수 α에 대해 C(α)를 포함한 가산 컴 pact 거리 공간 K에 대한 C(K) 공간의 성질을 사용하는 것.
• 가산 컴 pact K에 대해 어떤 C(K)의 몫공간과도 등장하지 않는 특정 ℓ¹-예비공간을 구성하는 것.
• 등장하는 표현이 불가능함을 보이기 위해 쌍대성 원리와 예비공간의 구조를 분석하는 것.
• 기존의 L¹(μ)-예비공간 결과를 활용하고, 그 구조를 ℓ¹-예비공간의 구조와 비교하는 것.
• 비가역적 임bedding을 유도하기 위해 기저가 되는 컴 pact 공간 K의 위상적 및 순서 이론적 성질을 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 가산 ℓ¹-예비공간은 어떤 가산 컴 pact 거리 공간 K에 대해 C(K)의 몫공간으로 등장할 수 있는가?
• RQ2 L¹(μ)-예비공간에 대한 고전적 결과가 C(∆)의 몫공간임을 나타내지만, 이는 ℓ¹-예비공간 설정으로 확장되는가?
• RQ3 일부 ℓ¹-예비공간이 가산 순서수 α에 대해 C(α)의 몫공간으로 등장하지 못하게 하는 구조적 장애 요소가 존재하는가?
• RQ4 어떤 조건이 바나흐 공간이 가산이고 컴 pact인 K에 대해 C(K)의 몫공간과 등장함을 보장하는가?
• RQ5 등장하는 표현의 맥락에서 ℓ¹-예비공간과 L¹(μ)-예비공간의 등장 성질는 어떻게 다를까?

주요 결과

• K가 가수 컴 pact 거리 공간일 때, 어떤 ℓ¹-예비공간도 C(K)의 몫공간과 등장하지 않는 경우가 존재한다.
• Johnson과 Zippin의 L¹(μ)-예비공간 정리의 자연스러운 일반화가 ℓ¹-예비공간에는 성립하지 않는다.
• 모든 가산 순서수 α와 임의의 닫힌 부분공간 Y에 대해 C(α)/Y와 등장하지 않는 특정 ℓ¹-예비공간을 구성할 수 있다.
• 가산 컴 pact K에 대해 C(K)의 몫공간의 집합은 등장하는 표현의 맥락에서 ℓ¹-예비공간의 집합보다 엄밀히 작다.
• 가산 K에 대해 ℓ¹-예비공간이 C(K)의 몫공간이 되지 못하게 하는 일반적인 구조적 제약 조건을 이 논문은 수립한다.
• 결과적으로 C(∆), 즉 칸토어 집합 공간은 ℓ¹-예비공간에 대한 보편적인 몫공간으로서 충분하지 않으며, L¹(μ)의 경우와 달리 이는 성립하지 않는다.