[논문 리뷰] A 3-dimensional singular kernel problem in viscoelasticity: an existence result

Sandra Carillo|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 07.

Elasticity and Material Modeling인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 비선형 핵을 가진 점탄성 문제에서 t=0에서의 이완 모odulus가 유계가 아니며 그 시간 도함수가 적분 가능하지 않은 경우, 3차원 초기경계값 문제에 대해 약한 해의 존재성을 확립한다. 정규화된 근사화를 통해 수열을 구성하고, 약한 수렴 및 핵 수렴에 관한 핵심 보조정리를 활용하여, 고전적인 점탄성 모델보다 더 느슨한 정규성 조건 하에서 해의 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

Materials with memory, namely those materials whose mechanical and/or thermodynamical behaviour depends on time not only via the present time, but also through its past history, are considered. Specifically, a three dimensional viscoelastic body is studied. Its mechanical behaviour is described via an integro-differential equation, whose kernel represents the relaxation modulus, characteristic of the viscoelastic material under investigation. According to the classical model, to guarantee the thermodynamical compatibility of the model itself, such a kernel satisfies regularity conditions which include the integrability of its time derivative. To adapt the model to a wider class of materials, this condition is relaxed; that is, conversely to what is generally assumed, no integrability condition is imposed on the time derivative of the relaxation modulus. Hence, the case of a relaxation modulus which is unbounded at the initial time t = 0, is considered, so that a singular kernel integro-differential equation, is studied. In this framework, the existence of a weak solution is proved in the case of a three dimensional singular kernel initial boundary value problem.

연구 동기 및 목표

• 비정상 핵을 가진 점탄성 모델에 대해, 특히 이완 모듈러스 도함수가 적분 가능하지 않은 경우의 해 존재 결과 부족 문제를 해결하기 위해.
• 이완 모듈러스 도함수에 대한 표준 적분 조건을 제거하여 고전적인 점탄성 모델을 일반화하기 위해.
• 더 낮은 정규성 조건 하에서 3차원 초기경계값 문제에 대해 약한 해의 존재성을 확립하기 위해.
• 이전의 1차원 결과를 3차원 설정으로 확장하여 고무 및 생체 조직과 같은 실제 재료에 대한 적용성을 높이기 위해.
• 기억 효과를 보이는 재료를 모델링하기 위한 수학적 기초를 제공하기 위해, 초기 시점에서 이완 반응이 비정상적인 경우를 다루기 위해.

제안 방법

• 이완 모듈러스 K(t)를 사용한 선형 적분미분방정식으로 점탄성 문제를 수립하며, K'(t)가 L¹(0,T)에 속하지 않아 비정상 핵이 발생한다.
• 핵을 이동시켜 정규화된 근사화를 도입한다: Kεh(s) = ∫₀^{s} G(εh + τ)dτ, 여기서 G ∈ L¹(0,T) 이지만 Ẇ ∉ L¹이다.
• H¹₀(Ω×(0,T))에 속하는 시험 함수를 사용하여 문제의 약한 형태를 정의함으로써, 응력과 변형률 역사에 대한 적분 항등식을 도출한다.
• 정규화된 문제에 대한 근사해 수열 {uεh}를 구성하고, H¹(0,T;H¹₀(Ω))에서의 약한 수렴 및 L²(Ω×(0,T))에서의 강한 수렴을 증명한다.
• 핵심 보조정리(보조정리 2)를 증명하여, 정규화된 핵 적분과 원래 핵 적분 간의 차이가 L² 의미에서 0으로 수렴함을 보인다.
• 근사해의 수렴성과 핵 수렴 보조정리를 활용하여 약한 형태에서 극한을 취함으로써, 비정상 문제에 대해 약한 해의 존재성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이완 모듈러스 도함수가 적분 가능하지 않은 경우, 3차원 점탄성 초기경계값 문제에 대해 약한 해의 존재성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 이완 모듈러스가 t=0에서 무한대가 되는 비정상 핵 모델을 어떻게 수학적으로 수립하고 분석할 수 있는가?
• RQ3 비정상성의 핵을 다룰 수 있는 근사 전략은 무엇이며, 문제의 물리적 및 수학적 구조를 유지할 수 있는가?
• RQ4 고전적인 점탄성 존재 이론은 얼마나 더 정규성이 낮은 이완 함수를 가진 모델로 확장될 수 있는가?
• RQ5 동차 경계 조건과 초기 자료의 정규성은 근사해의 수렴을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 이완 모듈러스 G가 G ∈ L¹(0,T) 이지만 Ẇ ∉ L¹(0,T)를 만족하는 3차원 초기경계값 문제에 대해 약한 해의 존재성을 증명한다.
• 핵에 εh의 이동을 도입하여, 근사 핵이 매끄럽고 적분 가능하도록 정규화된 문제의 수열을 구성한다.
• εh → 0일 때 근사해 {uεh}는 H¹(0,T;H¹₀(Ω))에서 약하게 수렴하고 L²(Ω×(0,T))에서 강하게 수렴하며, 이는 극한 함수 u의 존재를 보장한다.
• 보조정리 2는 정규화된 핵 적분과 원래 핵 적분 간의 차이가 L² 의미에서 0으로 수렴함을 보여주며, 이는 극한을 취하는 데 필수적이다.
• 원래 문제의 약한 형태는 극한에서 복원되며, 이는 극한 함수 u가 약한 의미에서 적분 방정식을 만족함을 확인한다.
• 결과는 이전의 1차원 존재 결과를 일반화하며, 분석 프레임워크를 3차원으로 확장하여 기억 효과를 보이는 재료에서 비정상 이완 거동를 모델링할 수 있게 한다.