[논문 리뷰] A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture

Thomas Jenrich|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 01.

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한 줄 요약

이 논문은 64차원에서 416개의 벡터로 이루어진 두 거리 집합을 제시하며, 이 집합은 직경이 더 작은 부분집합으로 71개 이하로 분할될 수 없음을 보여주어, 64차원에서 Borsuk의 추측에 대한 첫 번째 명시적 두 거리 반례를 제공한다. 이 구성은 $G_2(4)$ 강한 정규 그래프와 고유한 프로그램(G24CHK)을 통한 계산적 검증을 활용하여, 이전의 65차원 예제에서 알려진 최소 반례 차원을 한 단계 낮춘다.

ABSTRACT

In 1933 Karol Borsuk asked whether each bounded set in the n-dimensional Euclidean space can be divided into n+1 parts of smaller diameter. The diameter of a set is defined as the supremum (least upper bound) of the distances of contained points. Implicitly, the whole set is assumed to contain at least two points. The hypothesis that the answer to that question is positive became famous under the name Borsuk's conjecture. Beginning with Jeff Kahn and Gil Kalai, from 1993 to 2003 several authors have proved that in certain (almost all) high dimensions such a division is not generally possible. In a paper published in 2013, Andriy V. Bondarenko constructed a 65-dimensional two-distance set of 416 vectors that cannot be divided into less than 84 parts of smaller diameter. That was not just the first known two-distance counterexample to Borsuk's conjecture but also a considerable reduction of the lowest known dimension the conjecture fails in in general. This article presents a 64-dimensional subset of the vector set mentioned above that cannot be divided into less than 71 (by A. Bondarenko 72) parts of smaller diameter, that way delivering a two-distance counterexample to Borsuk's conjecture in dimension 64. The contained proof relies on the results of some (combinatorial) calculations. The additionally (in the source package) provided small computer program G24CHK needs about one second for that task on a 1 GHz Intel PIII. Meanwhile a short paper by this author and Andries E. Brouwer that follows the principal idea of this article but avoids the extensive computational part has been submitted to The Electronic Journal of Combinatorics.

연구 동기 및 목표

• 64차원 유클리드 공간에서 Borsuk의 추측을 위반하는 두 거리 집합을 구성하는 것. 이 추측은 임의의 유계 집합이 n차원 공간에서 n+1개의 더 작은 직경을 가진 부분집합으로 분할될 수 있다고 주장한다.
• Borsuk의 추측이 실패하는 데 있어 알려진 최소 차원을 줄이기 위해, 64차원에서 반례를 구성함으로써 이전의 65차원 예제를 향상시키는 것.
• 64차원에서 직경이 더 작은 부분집합으로 71개 이하로 분할될 수 없는 명시적이고 계산적으로 검증된 두 거리 집합의 구성.
• $G_2(4)$ 강한 정규 그래프의 기하학적 표현이 64차원에서 높은 대칭성과 직경 제약 조건을 가지며, 효율적인 분할을 방해하는 집합을 유도함을 보여주는 것.

제안 방법

• 매개수 (416, 100, 36, 20)를 가진 $G_2(4)$ 강한 정규 그래프는 인접 행렬과 고유값 분해를 통해 65차원 공간에서 416개의 벡터 집합으로 실현 가능하다.
• 이 벡터들은 음의 고유값 -4에 대응하는 고유공간으로의 투영을 통해 64차원 공간에 임베딩되며, 이로써 환경 차원이 65에서 64로 감소하면서 상호 거리가 유지된다.
• 집합의 직경은 벡터 간의 제곱거리 계산을 통해 분석되며, 인접한 정점 간 거리는 144(거리 12), 비인접 정점 간 거리는 192(거리 13.856)로, 두 거리 집합을 형성한다.
• 320개의 벡터로 이루어진 부분집합 $C$가 식별되며, 이는 5개의 정점으로 이루어진 64개의 클리크로 분할되며, 각 클리크의 이sov집합은 크기가 3인 공통의 교집합을 가진다. 이는 직경이 더 작은 64개의 부분집합으로의 유효한 분할을 가능하게 한다.
• 고유의 파스칼 프로그램인 G24CHK를 사용하여 구조를 검증한다: 그래프 구축, 이sov집합 계산, 부분집합 $B_1$, $B_2$, $B_3$, 및 $C$ 간의 인접도 수 계산.
• 증명의 핵심은 $C$의 벡터들이 생성하는 부분공간의 차원이 최대 63이므로, $C$의 직경이 전체 집합보다 작은 부분집합은 최소 64개로 분할되어야 하며, 64개 분할의 존재는 전체 집합에 대해 71개가 최소 필요함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 64차원 유클리드 공간에서 Borsuk의 추측을 위반하는 두 거리 집합을 구성할 수 있는가?
• RQ2 64차원에서 두 거리 집합을 분할하기 위해 필요한 더 작은 직경을 가진 부분집합의 최소 수는 얼마인가?
• RQ3 $G_2(4)$ 그래프의 기하학적 표현이 64차원에서 직경이 특정 임계값 이하로 감소할 수 없는 집합을 유도하는가?
• RQ4 계산적 방법을 통해 64차원에서 두 거리 집합이 71개 이하의 더 작은 직경 부분집합으로 분할될 수 없음을 검증할 수 있는가?
• RQ5 이전의 65차원 예제에서 알려진 반례의 최소 차원을 두 거리 집합을 사용하여 65에서 64로 낮출 수 있는가?

주요 결과

• 64차원에서 416개의 벡터로 이루어진 두 거리 집합이 구성되었으며, 이 집합은 직경이 더 작은 부분집합으로 71개 이하로 분할될 수 없어, 64차원에서 Borsuk의 추측에 대한 반례를 제공한다.
• 계산적 검증을 통해 G24CHK 프로그램을 통해 확인된 바, 이 집합을 덮기 위해 필요한 더 작은 직경 부분집합의 최소 수는 71개이다.
• 이 집합은 416개의 정점을 가지며 매개수 (416, 100, 36, 20)를 가진 $G_2(4)$ 강한 정규 그래프에서 유래되었으며, 고유값 -4에 대응하는 고유공간으로의 투영을 통해 64차원에 임베딩되었다.
• 320개의 벡터로 이루어진 부분집합 $C$는 차원이 최대 63이므로, 직경이 전체 집합보다 작은 부분집합으로 64개로 분할될 수 있지만, 전체 집합는 최소 71개의 이러한 부분집합이 필요하다.
• G24CHK 프로그램은 1GHz Intel PIII에서 1초 이내에 인접도 수와 부분집합의 구조를 성공적으로 검증하여 분할 제약 조건을 확인했다.
• 이 구성은 이전의 65차원 예제에서 알려진 두 거리 반례의 최소 차원을 65에서 64로 낮추며, 이전의 65차원 예제가 남긴 갭을 메웠다.