[논문 리뷰] A backward Kolmogorov equation approach to compute means, moments and correlations of non-smooth stochastic dynamical systems

Laurent Mertz, Georg Stadler외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 07.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비연속적인 확률적 동역계 시스템—예를 들어 확률적 탄성-플라스틱 시스템과 장애물 문제—에서 통계적 모멘트, 평균, 상관관계를 계산하기 위해 뒤집힌 코모고로프 방정식(BKE) 방법을 제안한다. 이는 비표준 경계 조건을 다루어 비용이 많이 드는 확률적 시뮬레이션 없이도 정확한 시스템 통계 계산을 가능하게 하며, 공학 역학 분야의 적용에 있어 계산적으로 효율적인 대안을 제공한다.

ABSTRACT

We present a computational alternative to probabilistic simulations for non-smooth stochastic dynamical systems that are prevalent in engineering mechanics. As examples, we target (1) stochastic elasto-plasticity, which involve transitions between elastic and plastic states, and (2) obstacle problems with noise, which involve discrete impulses due to collisions with an obstacle. We focus on solving Backward Kolmogorov Equations (BKEs) of stochastic variational inequalities modelling elasto-plastic and obstacle oscillators. The main challenge in solving BKEs corresponding to these problems is to deal with the non-standard boundary conditions which describe the behavior of the underlying process on the boundary. Applications that could make use of this framework abound in many areas of science and technology.

연구 동기 및 목표

• 공학 역학 분야의 비연속적인 확률적 동역계 시스템에 대해 확률적 시뮬레이션의 대안을 개발하기 위해.
• 확률적 변분부등식에서 비롯되는 뒤집힌 코모고로프 방정식(BKE)의 비표준 경계 조건에 대한 과제를 해결하기 위해.
• 탄성-플라스틱성과 장애물 충격 진동자와 같은 비연속적인 동역학을 갖는 시스템에서 평균, 모멘트, 상관관계를 정확하게 계산하기 위해.
• 비연속적인 노이즈 구동 동역학을 포함하는 광범위한 과학적 및 기술적 문제들에 적용 가능한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 탄성-플라스틱 및 장애물 진동자를 모델링하는 확률적 변분부등식을 위한 뒤집힌 코모고로프 방정식(BKE)을 수립하기 위해.
• 비연속성 경계에서 확률적 과정의 거동를 기술하는 비표준 경계 조건을 통합하기 위해.
• 이러한 특수 경계 조건을 갖는 BKE를 수치적으로 해결하여 시스템의 물리적 동역학과 일관성을 확보하기 위해.
• 해결된 해를 활용해 평균, 두 번째 모멘트, 상관 함수와 같은 통계적 양을 계산하기 위해.
• 가능한 한계에서 알려진 해석적 또는 시뮬레이션 기반 결과와의 비교를 통해 접근법을 검증하기 위해.
• 충돌과 계면 전이로 인한 이산형 양상이 있는 시스템을 다룰 수 있도록 프레임워크를 확장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 뒤집힌 코모고로프 방정식을 비연속적인 동역학을 갖는 비연속적인 확률적 시스템을 모델링하기 위해 적응시킬 수 있는가?
• RQ2 탄성-플라스틱성과 장애물 시스템의 계면에서 확률적 과정의 거동를 정확히 기술하기 위해 필요한 경계 조건은 무엇인가?
• RQ3 이러한 시스템에서 BKE 접근법이 확률적 시뮬레이션보다 통계적 모멘트와 상관관계를 더 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 비표준 경계 조건을 갖는 BKE의 해가 시뮬레이션 기반 추정치와 비교할 때 정확도와 계산 비용 측면에서 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ5 BKE 프레임워크는 비연속적인 노이즈 구동 동역학을 포함하는 실제 공학 문제에 대해 어떤 범위까지 적용 가능한가?

주요 결과

• BKE 접근법은 시간이 많이 소요되는 확률적 시뮬레이션에 의존하지 않고도 비연속적인 확률적 시스템에서 평균, 모멘트, 상관관계를 성공적으로 계산한다.
• 비표준 경계 조건은 탄성-플라스틱성의 유한면 또는 장애물 문제의 충격 경계와 같은 비연속성 표면에서 정확한 동역학을 포착하는 데 필수적이다.
• 특히 복잡한 계면 전이를 포함하는 시스템에 대해 몬테카를로 시뮬레이션에 비해 계산적으로 효율적인 대안을 제공한다.
• 이 프레임워크는 비연속적인 제약 조건을 포함하는 확률적 변분부등식을 포함하는 광범위한 공학 문제에 적용 가능하다.
• BKE의 해는 정확한 통계적 기술자료를 제공하여 불확실성 하에서 시스템 거동의 예측 분석을 가능하게 한다.
• 이 접근법은 이산형 양상과 플라스틱성 존재 시스템에서 상관관계 구조와 고차 모멘트의 체계적 연구를 가능하게 한다.