[논문 리뷰] A Baxter class of a different kind, and other bijective results using tableau sequences ending with a row shape

Sophie Burrill, Stephen Melczer외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 24.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 높이가 2 이하인 행 모양으로 끝나는 새로운 조합적 객체인 '지체하는 표편( hesitating tableaux)'을 도입하며, 이는 백서 수로 세어지며 기존 클래스에서 관찰되는 반대칭성(antipodal symmetry)을 가지지 않는 세 가지 새로운 백서 클래스를 제공한다. 또한, 행으로 끝나는 진동 표편과 높이가 $2k$ 이하인 표준 양-표편 사이의 깊이 있는 이분형을 추측하며, 생성함수 분석을 통해 $k \leq 8$일 때 이를 증명한다. 이는 라티스 경로와 웨일 도메인(Weyl chambers) 간의 새로운 연결 고리를 드러낸다.

ABSTRACT

Tableau sequences of bounded height have been central to the analysis of k-noncrossing set partitions and matchings. We show here that familes of sequences that end with a row shape are particularly compelling and lead to some interesting connections. First, we prove that hesitating tableaux of height at most two ending with a row shape are counted by Baxter numbers. This permits us to define three new Baxter classes which, remarkably, do not obviously possess the antipodal symmetry of other known Baxter classes. We then conjecture that oscillating tableau of height bounded by k ending in a row are in bijection with Young tableaux of bounded height 2k. We prove this conjecture for k at most eight by a generating function analysis. Many of our proofs are analytic in nature, so there are intriguing combinatorial bijections to be found.

연구 동기 및 목표

• 기존 클래스와는 달리 반대칭성을 가지지 않는, 백서 수로 세어지는 새로운 조합적 클래스를 식별하고 특성화하는 것.
• 높이가 $k$ 이하인 행 모양으로 끝나는 진동 표편과 높이가 $2k$ 이하인 표준 양-표편 사이의 이분형을 확립하는 것.
• 생성함수 분석과 웨일 도메인 내 라티스 경로 수를 통해 추측된 이분형에 대한 분석적 증거를 제공하는 것.
• 행 모양으로 끝나는 표편 수열과 경계에 도달하는 웨일 도메인 내 보행 사이의 연결 고리를 탐색하는 것.
• 오비트 합 방법과 D-유한 급수를 활용하여 이러한 조합적 클래스의 대각 생성함수 표현을 개발하는 것.

제안 방법

• 높이 $k$로 제한된, (1) 아무것도 하지 않고 추가, (2) 제거하고 아무것도 하지 않기, 또는 (3) 추가하고 제거하는 쌍의 이동을 갖는 페로르 다이어그램의 수열인 지체하는 표편을 사용한다.
• Chen 등(2010)의 지ap $\overline{\phi}$의 수정된 변형을 통해, 행으로 끝나는 지체하는 표편과 $W_k$-지체하는 라티스 보행이 특정 경계점에 도달하는 것 사이의 이분형을 수립한다.
• 웨일 도메인 $W_k$에서 경계 $\{me_1 + \delta : m \geq 0\}$에 도달하는 보행을 위한 대각 생성함수 표현을 도출하기 위해 오비트 합 방법을 적용한다.
• 웨일 도메인 내 반사 가능한 보행을 위한 Gessel-Zeilberger 공식을 활용하여, 경계에 도달하는 진동 보행의 생성함수를 추측한다.
• 생성함수 분석을 통해 $k \leq 8$일 때, 행으로 끝나는 진동 표편과 높이가 $2k$ 이하인 표준 양-표편 사이의 추측된 이분형을 증명한다.
• 대칭군 작용이 $z_1, \dots, z_{k-1}$ 에서의 유리 함수에 작용하는 방식으로, 높이가 $k$ 이하인 표준 양-표편의 생성함수에 대한 대각 표현을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 백서 수로 세어지는 새로운 조합적 클래스 중 반대칭성을 가지지 않는 것이 존재하는가? 만약 그렇다면, 이러한 클래스는 어떤 구조에 대응하는가?
• RQ2 높이가 $k$ 이하인 행 모양으로 끝나는 진동 표편과 높이가 $2k$ 이하인 표준 양-표편 사이에 이분형이 존재하는가?
• RQ3 웨일 도메인 $W_k$의 경계에 도달하는 진동 보행의 생성함수는 유리 함수의 대각으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 행 모양으로 끝나는 표편 수열과 경계 조건이 있는 웨일 도메인 내 보행 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 오비트 합 방법을 사용하여 높이가 제한된 표준 양-표편의 수를 위한 닫힌 형태의 생성함수를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 높이가 2 이하인 행 모양으로 끝나는 지체하는 표편은 백서 수로 세어지며, 반대칭성을 가지지 않는 세 가지 새로운 백서 클래스를 제공한다.
• $W_2$-지체하는 라티스 보행 중 길이 $2n$이고 $(m+2,1)$에 도달하는 보행의 수를 모든 $m$에 대해 합하면 $(n+1)$-번째 백서 수가 된다: $\sum_{m=0}^n \ell^{(2)}_m(n) = B_{n+1}$.
• 행으로 끝나는 진동 표편과 높이가 $2k$ 이하인 표준 양-표편 사이의 추측된 이분형은 $k \leq 8$일 때 생성함수 분석을 통해 검증되었으며 성립한다.
• 오비트 합 기법을 기반으로, 경계 $\{me_1 + \delta : m \geq 0\}$에 도달하는 $W_k$ 내 진동 보행의 수를 위한 대각 생성함수 표현을 제안한다.
• 높이가 $k$ 이하인 표준 양-표편의 생성함수에 대한 추측된 대각 생성함수를 유도하였으며, 이는 $k-1$개 변수에 대한 유리 함수에 대한 대칭군 작용을 포함한다.
• 경계에 도달하는 진동 보행의 생성함수는 차수의 곱과 대칭 함수를 포함하는 유리 함수의 대각으로 표현되었으며, $k=8$까지 검증되었다.