[논문 리뷰] A Bellman approach for regional optimal control problems in $\R^N$

Guy Barles, Ariela Briani외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 24.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^N$ 내에서 동역학과 보상 비용이 $W^{2,\infty}$ 표면에서 불연속인 지역 최적 제어 문제에 대해 벨만 접근법을 개발한다. 해밀턴-자코비-벨리만 방정식에 대한 새로운 표면 조건을 포함한 점도 해의 프레임워크를 수립하고, 최대 및 최소 해의 존재성을 증명하며, 유한 및 무한 수명 문제에 대해 약화된 제어 가능성 조건 하에서 유일성 및 안정성 결과를 제공한다.

ABSTRACT

This article is a continuation of a previous work where we studied infinite horizon control problems for which the dynamic, running cost and control space may be different in two half-spaces of some euclidian space $\R^N$. In this article we extend our results in several directions: $(i)$ to more general domains; $(ii)$ by considering finite horizon control problems; $(iii)$ by weaken the controlability assumptions. We use a Bellman approach and our main results are to identify the right Hamilton-Jacobi-Bellman Equation (and in particular the right conditions to be put on the interfaces separating the regions where the dynamic and running cost are different) and to provide the maximal and minimal solutions, as well as conditions for uniqueness. We also provide stability results for such equations.

연구 동기 및 목표

• 이전의 두 반공간 내 무한 수명 제어 문제에 대한 결과를 더 일반적인 도메인과 유한 수명 문제로 확장한다.
• 지역 최적 제어 문제에서 해의 존재성과 유일성을 확보하기 위해 요구되는 제어 가능성 조건을 약화시킨다.
• 동역학과 보상 비용이 $W^{2,\infty}$ 초면을 가로질러 불연속일 경우에 적절한 해밀턴-자코비-벨리만 방정식과 표면 조건을 규명한다.
• 최대 및 최소 점도 해의 존재성을 확립하고, 그들의 유일성 조건을 제시한다.
• 자료의 변형에 대한 해밀턴-자코비-벨리만 방정식의 안정성 결과를 증명하며, 기존의 연속적인 경우와는 다름을 밝힌다.

제안 방법

• 문제를 $\mathbb{R}^N = \Omega_1 \cup \Omega_2 \cup \mathcal{H}$의 분해에 따라 설정하며, $\mathcal{H}$는 서로 다른 동역학과 보상 비용을 가진 두 영역을 분리하는 $W^{2,\infty}$ 표면이다.
• 불연속 해밀턴리안에 대해 이시이의 점도 해 정의를 사용하여, 상부 및 하부 반연속 캡슐화를 통해 하부 및 상부 해를 정의한다.
• 표면 조건을 도입한다: $\min\{u_t + H_1, u_t + H_2\} \leq 0$ 및 $\max\{u_t + H_1, u_t + H_2\} \geq 0$ 이다. 이는 불연속성에서의 일致성을 확보하기 위해 $\mathcal{H} \times (0,T)$ 상에서 적용된다.
• 지역화된 도메인에서 비교 원리를 증명하기 위해 초기화 및 매끄러운 변환 기법을 사용하여 시험 함수를 구성한다.
• 절단된 실린더 $\tilde{Q}_{\alpha,\varepsilon}$ 내에서 비교 논증을 적용하며, 내부에서 최소점이 발생하지 않도록 엄격한 하부해 $\tilde{u}_\alpha^\varepsilon - \eta t$ 를 사용한다.
• $\varepsilon \to 0$ 및 $\alpha \to 0$ 으로 한계를 취하여 비교 원리 $\| (\tilde{u} - \tilde{v})_+ \|_{L^\infty(\tilde{Q})} \leq \| (\tilde{u} - \tilde{v})_+ \|_{L^\infty(\partial_p \tilde{Q})}$ 를 도출하며, 이는 초기 조건이 파arabolic 경계에서 일치할 경우 유일성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동역학과 보상 비용이 $\mathbb{R}^N$ 내의 $W^{2,\infty}$ 표면에서 불연속일 경우, 해밀턴-자코비-벨리만 방정식의 적절한 형태는 무엇인가?
• RQ2 불연속 해밀턴리안을 가진 지역 제어 문제에서 점도 해를 어떻게 정의하고, 비교 원리를 보장할 수 있는가?
• RQ3 표면과 동역학에 어떤 조건이 성립하면, 유한 수명 지역 최적 제어 문제에서 점도 해의 존재성과 유일성이 보장되는가?
• RQ4 이러한 불연속 설정에서 해밀턴-자코비-벨리만 방정식의 안정성 특성은 기존의 연속적인 경우와 어떻게 다를까?
• RQ5 지역 최적 제어 문제에서 유일성에 요구되는 제어 가능성 조건을 약화시킬 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 HJB 방정식에 대한 적절한 표면 조건을 규명한다: $\min\{u_t + H_1, u_t + H_2\} \leq 0$ 및 $\max\{u_t + H_1, u_t + H_2\} \geq 0$ 이다. 이는 $\mathcal{H} \times (0,T)$ 상에서 불연속성에서의 일致성을 보장한다.
• 불연속 자료가 존재하더라도 지역 설정에서 최대 및 최소 점도 해의 존재성을 증명한다.
• 더 이상 전역적 제어 가능성 조건이 필요로 하지 않는 약화된 제어 가능성 조건 하에서 점도 해의 유일성을 확립한다. 이는 이전 연구에서 요구하던 더 강력한 전역 제어 가능성 조건을 일반화한 것이다.
• 지역화된 도메인에서 비교 원리를 도출하며, $\| (\tilde{u} - \tilde{v})_+ \|_{L^\infty(\tilde{Q})} \leq \| (\tilde{u} - \tilde{v})_+ \|_{L^\infty(\partial_p \tilde{Q})}$ 를 보여주며, 이는 초기 조건이 파라볼릭 경계에서 일치할 경우 유일성을 암시한다.
• 안정성 결과를 확보하여, 해가 자료의 변형에 대해 연속적으로 의존함을 보이며, 수렴 속도는 $\tilde{m}(\varepsilon) \to 0$ 이다. 이는 $\varepsilon \to 0$ 일 때 성립한다.
• 이 프레임워크는 유한 수명 문제와 더 일반적인 도메인으로 확장되며, 표면 $\mathcal{H}$ 에 대한 정규성 조건 하에서 두 영역 $\Omega_1, \Omega_2$ 로의 축소가 가능하다.