[논문 리뷰] A Bernstein type inequality and moderate deviations for weakly dependent sequences

Florence Merlevède, Magda Peligrad외 1명|ArXiv.org|2009. 02. 03.

Probability and Risk Models참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 반응이 약한 의존성을 가진 확률변수의 부분합에 대해 반응이 약한 의존성과 반지름 지수 꼬리 분포를 갖는 베르누이 스타일 尾 불등식을 수립하며, 기존의 지수적 경계를 혼합 과정으로 확장한다. 일반적인 혼합 조건 하에서 중간 편차 원리(MDP)를 도출하고 수렴에 대한 최적 조건을 증명하며, 마르코프 체인, 절대 정규성 혁신을 갖는 선형 과정, ARCH 모형에 응용한다.

ABSTRACT

In this paper we present a tail inequality for the maximum of partial sums of a weakly dependent sequence of random variables that are not necessarily bounded. The class considered includes geometrically and subgeometrically strongly mixing sequences. The result is then used to derive asymptotic moderate deviations results. Applications include classes of Markov chains, functions of linear processes with absolutely regular innovations and ARCH models

연구 동기 및 목표

• 독립 동일분포(i.i.d.)의 경우를 초월하여 반응이 약한 의존성을 갖는 시퀀스에 대해 베르누이 스타일 尾 불등식을 확장하는 것.
• 일반적인 혼합 조건 하에서 반응이 약한 의존성을 갖는 시퀀스의 부분합에 대해 중간 편차 원리(MDP)를 도출하는 것.
• 의존성 계수의 감쇠 속도와 꼬리 행동을 고려하여 MDP에 대한 최적 조건을 설정하는 것.
• 기하적 혼합 마르코프 체인, 절대 정규성 혁신을 갖는 선형 과정, ARCH 과정과 같은 구체적 모형에 결과를 적용하는 것.

제안 방법

• 반응이 약한 의존성을 갖는 시퀀스에 대해 반지름 지수 꼬리 조건 하에서 모멘트 생성 함수의 경계를 사용하여 부분합의 최댓값에 대한 새로운 尾 불등식을 유도한다.
• 의존성을 제어하기 위해 독립 복사본을 사용하는 분리 불등식(보조정리 2)을 활용한다.
• 서브-웨이불 모멘트 조건 하에서 종속된 랜덤 변수의 합에 대해 로그 라플라스 변환 경계(보조정리 3)를 적용한다.
• 블록 분해와 마틴게일 근사 기법을 사용하여 분산과 극한 행동을 제어한다.
• 강한 혼합과 절대 정규성 조건 하에서 필요한 지수적 경계와 타이트함 조건을 검증함으로써 MDP를 수립한다.
• 필요한 모멘트 및 의존성 조건을 검증함으로써 주 불등식을 특정 모형에 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무거운 꼬리 또는 반지름 지수 꼬리 분포를 갖는 반응이 약한 의존성을 갖는 시퀀스에 대해 베르누이 스타일 불등식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 반응이 약한 의존성을 갖는 시퀀스에서 중간 편차 원리에 대한 최적의 혼합 속도와 꼬리 감쇠 조건는 무엇인가?
• RQ3 기하적 혼합 마르코프 체인과 선형 과정에 대해 기존의 경계에 비해 결과가 어떻게 향상되는가?
• RQ4 비선형 모형인 의존성 혁신을 갖는 ARCH 과정에 이 토대를 적용할 수 있는가?
• RQ5 약한 의존성 하에서 중간 편차 원리의 속도 파rameter $ a_n $ 의 정확한 임계값은 무엇인가?

주요 결과

• 기하적 및 하위기하적 강한 혼합 조건 하에서 반응이 약한 의존성을 갖는 시퀀스에 대해 반지름 지수 꼬리 분포를 갖는 새로운 베르누이 스타일 불등식이 수립된다.
• 이 불등식은 $ heta \to 0 $ 일 때 중간 편차에 대해 준 정규 분포 경계를 제공하며, 이 경계의 속도는 혼합 계수 $ \theta $ 와 꼬리 지수 $ \beta $ 에 따라 달라진다.
• 기하적 혼합 시퀀스에서 $ \beta = 1 $ 인 경우, $ a_n \to 0 $ 이고 $ n^{-1/2} $ 보다 더 빠르게 수렴하는 조건 하에서 MDP가 성립하며, 이는 이전 결과를 향상시킨다.
• 유계 함수를 갖는 정상적이고 기하적 혼합 마르코프 체인에 대해 $ a_n \to 0 $ 이고 $ n^{-1/2} $ 보다 더 빠르게 수렴하는 조건 하에서 MDP가 증명된다.
• 이 토대는 절대 정규성 혁신을 갖는 선형 과정과 ARCH 모형에 적용되며, 꼬리 및 의존성 조건이 검증된다.
• 합계 분산의 정규화 $ \text{Var}(S_n)/n \to \tau^2 > 0 $ 는 합계 가능한 공분산 감쇠 조건 하에서 확립되며, 이는 비퇴화 극한 행동을 보장한다.