[논문 리뷰] A bi-projection method for incompressible Bingham flows with variable density, viscosity and yield stress

Rénald Chalayer, Laurent Chupin외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 08.

Rheology and Fluid Dynamics Studies참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 밀도, 점성계수, 항력 응력이 공간적·시간적으로 변화하는 비압축성 빙햄 유동을 위한 이중 투영 수치 스킴을 제시한다. 시간 분할 스킴과 플라스틱 응력 텐서에 대한 유자와 유사한 투영법을 결합하고, 의사시간 안정화 항을 도입함으로써 고정점 반복의 기하 수렴을 보장하며, 무조건적 안정성과 제한된 밀도 범위를 확보하면서 시간에 대해 일계 정확도를 달성한다.

ABSTRACT

A new numerical scheme for solving incompressible Bingham flows with variable density, plastic viscosity and yield stress is proposed. The mathematical and computational difficulties due to the non-differentiable definition of the stress tensor in the plug regions, i.e. where the strain-rate tensor vanishes, is overcome by using a projection formulation as in the Uzawa-like method for viscoplastic flows. This projection definition of the plastic tensor is coupled with a fractional time-stepping scheme designed for Newtonian incompressible flows with variable density. The plastic tensor is treated implicitly in the first sub-step of the fractional time-stepping scheme and a fixed-point iterative procedure is used for its computation. A pseudo-time relaxation term is added into the Bingham projection whose effect is to ensure a geometric convergence of the fixed-point algorithm. This is a key feature of the bi-projection scheme which provides a fast and accurate computation of the plastic tensor. Stability and error analyses of the bi-projection scheme are provided. The use of the discrete divergence-free velocity to convect the density in the mass conservation equation allows us to derive lower and upper bounds for the discrete density. The error induced by the pseudo-time relaxation term is controlled by a prescribed numerical parameter so that a first-order estimate of the time error is derived for the velocity field and the density, as well as the dependent parameters that are the plastic viscosity and the yield stress.

연구 동기 및 목표

• 변화하는 밀도, 플라스틱 점성계수, 항력 응력이 있는 비압축성 빙햄 유동을 위한 안정적이고 정확한 수치 스킴을 개발하는 것.
• 변형률 속도가 0이 되는 플러그 영역에서 빙햄 구성법칙의 미분 가능성이 없는 문제를 해결하는 것.
• 정규화에 의존하지 않고도 항력 표면과 플러그 영역을 정확히 해상화하는 것.
• 이전에 일정 매개변수 유동에 사용된 이중 투영 프레임워크를 엄밀한 안정성 및 오차 분석을 통해 변화하는 매개변수 유동으로 확장하는 것.
• 연속 방정식에서 수렴 운동장을 비산통속도로 사용함으로써 밀도에 대한 이산 최대 원칙을 유지하는 것.

제안 방법

• 시간 분할 스킴이 사용되며, 시간 스텝을 예측 단계와 투영 단계로 분리한다.
• 플라스틱 응력 텐서는 의사시간 안정화 항을 포함한 유자와 유사한 투영 공식에 고정점 반복을 적용하여 계산된다. 이는 기하 수렴을 보장한다.
• 의사시간 안정화 항은 매개변수 θ로 제어되며, 시간 스텝 δt에 비례하도록 선택되어 일계 정확도를 유지한다.
• 밀도의 연속 방정식에서 수렴 운동장을 사용하여 밀도의 이산 하한 및 상한을 보장한다.
• 플라스틱 응력의 투영과 압력 보정 방법을 결합함으로써 변수 계수 타원형 방정식을 풀 필요 없이 해결한다.
• 에너지 방법, 이산 그론발레의 부등식, 속도, 압력, 응력의 시간 도함수에 대한 유계를 사용하여 안정성 및 오차 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변화하는 밀도, 플라스틱 점성계수, 항력 응력이 있는 비압축성 빙햄 유동에 대해 이중 투영 스킴을 확장할 수 있는가? 이때 안정성과 정확도를 유지할 수 있는가?
• RQ2 빙햄 투영에 의사시간 안정화 항을 포함할 경우 고정점 알고리즘의 수렴 속도와 오차 한계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 연속 방정식에서 비산통속도를 수렴 운동장으로 사용할 경우 이산 밀도 진동과 그 한계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 플라스틱 응력 텐서를 암시적으로 처리하고 고정점 반복과 안정화를 통해 해를 구할 때, 제안된 스킴이 시간에 대해 일계 정확도를 유지하는가?
• RQ5 변화하는 물성 특성이 존재할 경우 속도, 밀도, 그리고 관련 매개변수(플라스틱 점성계수, 항력 응력)의 이론적 오차 한계는 무엇인가?

주요 결과

• 스킴은 시간에 대해 일계 정확도를 달성하며, 오차는 O(√(δt(δt + θ)))로 유계화되며, θ가 δt에 비례하도록 선택될 경우 O(δt)로 감소한다.
• 의사시간 안정화 항은 플라스틱 응력 텐서에 대한 고정점 반복의 기하 수렴을 보장하며, 공비는 (1 - θ)이다.
• 연속 방정식에서 비산통속도를 수렴 운동장으로 사용함으로써 밀도에 대한 이산 하한 및 상한이 보장되며, 최대 원칙이 유지된다.
• 스킴은 무조건적 안정성을 보이며, 속도 및 밀도 오차는 시간 스텝과 안정화 매개변수에 관계없이 유계이다.
• 플라스틱 응력 텐서의 오차는 사전 지정된 수치적 매개변수로 제어되며, 전체 스킴은 모든 종속 변수에 대해 일계 수렴을 유지한다.
• 이론적 분석을 통해 의사안정화 항이 스킴의 시간 정확도를 떨어뜨리지 않음을 확인하였으며, 에너지 추정과 이산 그론발레의 부등식을 통해 이를 증명하였다.