[논문 리뷰] A Big-Data Approach to Handle Process Variations: Uncertainty Quantification by Tensor Recovery

Zheng Zhang, Tsui-Wei Weng외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 19.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 고차원 통합 회로 및 MEMS에서의 효율적 불확실성 정량화를 가능하게 하는 텐서 복원 방법을 제안한다. 이 방법은 단지 수백 개의 실제 시뮬레이션으로부터 트리릴리언 개의 시뮬레이션 샘플을 추정함으로써 가능하게 한다. 솔루션 텐서 내의 저질서 및 희박한 구조를 활용함으로써, 이 접근법은 50개 이상의 랜덤 매개변수를 가진 문제에 대해 텐서 곱 스트로스틱 콜로케이션을 확장하며, 시뮬레이션 비용을 크게 줄이면서도 높은 정확도를 유지한다.

ABSTRACT

Stochastic spectral methods have become a popular technique to quantify the uncertainties of nano-scale devices and circuits. They are much more efficient than Monte Carlo for certain design cases with a small number of random parameters. However, their computational cost significantly increases as the number of random parameters increases. This paper presents a big-data approach to solve high-dimensional uncertainty quantification problems. Specifically, we simulate integrated circuits and MEMS at only a small number of quadrature samples, then, a huge number of (e.g., $1.5 \ imes 10^{27}$) solution samples are estimated from the available small-size (e.g., $500$) solution samples via a low-rank and tensor-recovery method. Numerical results show that our algorithm can easily extend the applicability of tensor-product stochastic collocation to IC and MEMS problems with over 50 random parameters, whereas the traditional algorithm can only handle several random parameters.

연구 동기 및 목표

• 나노스케일 장치에 대한 전통적 스트로스틱 콜로케이션 방법의 계산 비용이 지나치게 높아지는 문제를 해결하기 위해.
• 50개 이상의 랜덤 공정 변동 매개변수를 가진 통합 회로 및 MEMS에서 효율적인 불확실성 정량화를 가능하게 하기 위해.
• 저질서 텐서 복원을 사용하여 트리릴리언 개의 시뮬레이션에서 수백 개의 시뮬레이션으로 요구되는 시뮬레이션 수를 줄이기 위해.
• 극도의 데이터 감소에도 불구하고 장치 성능의 통계적 특성화 정확도를 유지하기 위해.
• 고차원 매개변수 공간을 가진 실제 IC 및 MEMS 설계에 대해 이 방법의 효과성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 스트로스틱 콜로케이션 문제의 전체 솔루션 공간을, 모든 필요한 시뮬레이션 샘플을 포함하는 고차원 텐서로 표현하기.
• 소수의 샘플된 시뮬레이션에서만 전체 텐서를 추정하기 위한 저질서 및 희박한 텐서 복원 문제를 설정하기.
• 저질서 및 희박성 제약 조건이 있는 비볼록 최적화 문제를 해결하기 위해 교차 방향 다중 승수 방법(ADMM)을 사용하기.
• 고차원 문제에 대한 계산 복잡도를 줄이고 확장성을 향상시키기 위해 텐서트레이스 분해를 적용하기.
• 솔루션을 표현하고 통계적 모멘트를 계산하기 위해 일반화 다항식 혼합(gPC) 전개를 통합하기.
• 복원된 텐서의 상대 오차를 평가하고 정확도를 보장하기 위해 교차 검증을 사용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텐서 복원 기법이 IC 및 MEMS에서의 고차원 불확실성 정량화에 필요한 시뮬레이션 수를 크게 줄일 수 있는가?
• RQ2 저질서 및 희박한 텐서 복원 기법이 단지 수백 개의 시뮬레이션으로부터 트리릴리언 개의 솔루션 샘플을 추정할 때 얼마나 정확하게 유지할 수 있는가?
• RQ3 기존의 텐서 곱 및 희소 그리드 스트로스틱 콜로케이션 방법과 비교해 본다면, 제안된 방법은 효율성과 정확도 면에서 얼마나 뛰어나게 되는가?
• RQ4 이 방법은 50개 이상의 랜덤 공정 변동 매개변수를 가진 실제 IC 및 MEMS 설계를 처리할 수 있는가?
• RQ5 복원된 솔루션은 몬테카를로 시뮬레이션(5,000개 샘플)과 거의 동일한 정도로 장치 성능의 통계적 분포를 정확히 유지하는가?

주요 결과

• MEMS 콘덴서(46개 랜덤 매개변수)에 대해 300개의 시뮬레이션 샘플만으로도 상대 근사 오차가 0.1%에 불과했다.
• 7단계 CMOS 레이어 온 오실레이터(57개 매개변수)에 대해 500회의 시뮬레이션으로 복원 텐서의 상대 오차가 1% 이내였다.
• MEMS 예제의 경우 수렴이 70회 이내, 레이어 온 오실레이터의 경우 46회 이내로 이루어져 수렴 속도가 매우 빠르다는 것을 보여주었다.
• MEMS의 경우 일반화 다항식 혼합 계수의 상대 오차가 10−4 이하, 오실레이터의 경우 1% 이하로 낮아 매우 높은 정확도를 확보했다.
• 복원된 모델에서 유도된 출력(용량 및 주파수)의 확률 밀도 함수는 몬테카를로 시뮬레이션(5,000개 샘플) 결과와 거의 구분되지 않았다.
• 필요한 시뮬레이션 수(300~500회)가 gPC 전개에서의 기저 함수 수(1,711개)보다 훨씬 적어 계산상의 이점을 입증했다.