[논문 리뷰] A Bijection between well-labelled positive paths and matchings

Olivier Bernardi, Bertrand Duplantier외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 03. 31.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 4인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 크기 $n$인 잘라벨링된 양의 경로와 $2n$ 개의 원소에 대한 고정점이 없는 매칭 사이의 구성적 전단사 관계를 확립하여, 둘 다 이중 계승 $(2n-1)!!$ 으로 세어짐을 증명한다. 전단사는 재귀적 분해와 라벨링된 이진 트리와의 연결을 통해 구축되며, 수평 단계의 수에 따라 정교화된 열거를 가능하게 하고, 예를 들어 모든 접두사에서 오르막 수가 내림막 수를 초과하지 않는 순열과 같은 제한된 오르내림 수열을 가진 순열에 대한 정확한 공식을 도출한다.

ABSTRACT

A well-labelled positive path of size n is a pair (p,σ) made of a word p=p_1p_2...p_{n-1} on the alphabet {-1, 0,+1} such that the sum of the letters of any prefix is non-negative, together with a permutation σof {1,2,...,n} such that p_i=-1 implies σ(i)σ(i+1). We establish a bijection between well-labelled positive paths of size $n$ and matchings (i.e. fixed-point free involutions) on {1,2,...,2n}. This proves that the number of well-labelled positive paths is (2n-1)!!. By specialising our bijection, we also prove that the number of permutations of size n such that each prefix has no more ascents than descents is [(n-1)!!]^2 if n is even and n!!(n-2)!! otherwise. Our result also prove combinatorially that the n-dimensional polytope consisting of all points (x_1,...,x_n) in [-1,1]^n such that the sum of the first j coordinates is non-negative for all j=1,2,...,n has volume (2n-1)!!/n!.

연구 동기 및 목표

• 크기 $n$인 잘라벨링된 양의 경로와 $\{1,\ldots,2n\}$ 위의 고정점이 없는 매칭 사이의 전단사 대응을 확립하기.
• 다각형체 $\Pi_n = \{(x_1,\ldots,x_n) \in [-1,1]^n \mid \sum_{i=1}^j x_i \geq 0 \text{ for all } j\}$ 의 부피가 $\frac{(2n-1)!!}{n!}$ 와 같음을 보여주는 조합적 증명을 제공하기.
• 수평 단계의 수(즉, 값이 0인 단계)에 따라 잘라벨링된 경로의 열거를 정교화하여 이러한 수를 위한 명시적 공식을 도출하기.
• 모든 초기 세그먼트에서 오르막 수가 내림막 수를 초과하지 않는 순열의 열거하기.

제안 방법

• 저자들은 잘라벨링된 양의 경로와 모츠킨 경로의 재귀적 분해를 정의하여, 생성함수로 변환하여 초기 열거 결과를 도출한다.
• 첸(2007)의 라벨링된 이진 트리와 매칭 사이의 구성 방법을 활용하여, 잘라벨링된 양의 경로와 매칭 사이의 전단사를 구성한다.
• 해당 전단사를 경로의 수평 단계 수를 추적할 수 있도록 정교화하기 위해, 대응하는 라벨링된 이진 트리의 준단일 리프를 분석하고, 특정 인덱스 제약 조건을 만족하는 매칭 쌍을 분석한다.
• 경로에서 라벨링된 트리로의 재귀적 사상 $\Phi'$ 와 트리에서 매칭으로의 사상 $\Psi'$ 를 정의하며, 수평 단계 수와 같은 구조적 불변량을 유지한다.
• 경로 유형과 순열의 오르내림 수열 사이의 대응을 활용하여, 모든 접두사에서 오르막-내림막 불균형이 제한된 순열에 결과를 특화한다.
• 정교화된 수의 증명은 이중 계승과 이항 계수를 포함하는 조합적 항등식에 기반하며, 귀납법과 트리 및 경로 분해의 구조적 분석을 통해 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기 $n$인 잘라벨링된 양의 경로의 정확한 수는 얼마이며, 이를 조합적으로 증명할 수 있는가?
• RQ2 크기 $2n$의 원소에 대한 고정점이 없는 매칭과 잘라벨링된 양의 경로 사이에 자연스러운 전단사 관계가 존재하는가?
• RQ3 수평 단계의 수(즉, 값이 0인 단계)에 따라 이러한 경로의 열거를 어떻게 정교화할 수 있는가?
• RQ4 모든 초기 세그먼트에서 오르막 수가 내림막 수를 초과하지 않는 크기 $n$의 순열의 수는 얼마인가?
• RQ5 전반적으로 오르막 수가 내림막 수보다 하나 많지만, 모든 초기 세그먼트에서 오르막 수가 내림막 수를 초과하지 않는 크기 $n$의 순열의 수는 얼마인가?

주요 결과

• 크기 $n$인 잘라벨링된 양의 경로의 수는 정확히 $(2n-1)!!$ 이며, $2n$ 개의 원소에 대한 고정점이 없는 매칭과의 구성적 전단사에 의해 증명된다.
• 수평 단계가 $k$ 개인 잘라벨링된 양의 경로의 수는 $n-k$ 가 짝수일 경우 $\binom{n}{k}\binom{n-1}{k}k![(n-k-1)!!]^2$ 이고, 그렇지 않을 경우 $\binom{n}{k}\binom{n-1}{k}k!(n-k)!!(n-k-2)!!$ 이다.
• 모든 접두사에서 오르막 수가 내림막 수를 초과하지 않는 크기 $n$의 순열의 수는 $n$ 이 짝수이면 $[(n-1)!!]^2$, 홀수이면 $n!!(n-2)!!$ 이다.
• 전반적으로 오르막 수가 내림막 수보다 하나 많지만, 모든 접두사에서 균형을 이루는 크기 $n$의 순열(즉, 디락 오르내림 수열)의 수는 $n$ 이 짝수이면 $(n-1)!!(n-3)!!$, 홀수이면 0 이다.
• 다각형체 $\Pi_n = \{(x_1,\ldots,x_n) \in [-1,1]^n \mid \sum_{i=1}^j x_i \geq 0 \text{ for all } j\}$ 의 부피는 $\frac{(2n-1)!!}{n!}$ 이며, 전단사와 부분다각형체 분해를 통한 조합적 증명으로 입증된다.
• 전단사는 구조적 특징을 유지한다: 경로의 수평 단계 수는 대응하는 라벨링된 이진 트리의 준단일 리프 수와 같으며, 이는 다시 말해 $i \leq n$ 이고 $j \in \{n+1,\ldots,2n-1\}$ 인 매칭 쌍 $(i,j)$ 의 수와 같다.