[논문 리뷰] A birational Nevanlinna constant and its consequences

Min Ru, Paul Vojta|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 18.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 4인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 프로젝티브 다양체 위의 효과적 카르티에 분할에 대해 보다 정교한 불변량인 비유리 네바린나 상수를 도입한다. 이는 이전의 네바린나 이론 및 디오판틴스 추측에서의 결과들을 일반화하고 확장한다. 아우티세르의 필터링과 위르 함수를 활용하여, 에버트세–페레티와 루의 결과들을 복원하고 강화하는 통합된 프레임워크를 수립한다. 만약 비유리 네바린나 상수가 1보다 작다면, 분할의 여부에서의 정수점들은 열거되지 않으며, 즉 적절한 제로-위치-닫힘 부분집합에 포함된다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to modify the notion of the Nevanlinna constant $\operatorname{Nev}(D)$, recently introduced by the first author, for an effective Cartier divisor on a projective variety $X$. The modified notion is called the birational Nevanlinna constant and is denoted by $\operatorname{Nev}_{ ext{bir}}(D)$. By computing $\operatorname{Nev}_{ ext{bir}}(D)$ using the filtration constructed by Autissier in 2011, we establish a general result (see the General Theorem in the Introduction), in both the arithmetic and complex cases, which extends to general divisors the 2008 results of Evertse and Ferretti and the 2009 results of the first author. The notion $\operatorname{Nev}_{ ext{bir}}(D)$ is originally defined in terms of Weil functions for use in applications, and it is proved later in this paper that it can be defined in terms of local effectivity of Cartier divisors after taking a proper birational lifting. In the last two sections, we use the notion $\operatorname{Nev}_{ ext{bir}}(D)$ to recover the proof of an example of Faltings from his 2002 Baker's Garden article.

연구 동기 및 목표

• 원래의 네바린나 상수 정의의 한계를 다루기 위해, 이는 증명에서 위르 함수의 국소 최대값을 다루지 못함.
• 비유리 상승에 따른 국소 효과성과 임의의 분할에 적용 가능한 더 일반적인 불변량인 비유리 네바린나 상수를 개발하기 위해.
• 특히 에버트세–페레티(2008)와 루(2009)의 결과들을 하나의 프레임워크 아래 통합하고 확장하기 위해.
• 2002년 베이커의 정원 논문에서 팔링스의 예를 새로운 불변량을 사용하여 복원하기 위해.
• 비유리 네바린나 상수와 에버트세–페레티 상수 사이의 비교를 수립하여, 앞의 상수가 항상 뒤의 상수보다 작거나 같음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 선형 부분공간 $V \subseteq H^0(X,\mathscr{L}^N)$, $\dim V > 1$, 및 유리수 $\mu > 0$를 포함하는 삼중체 $(N,V,\mu)$를 통해 비유리 네바린나 상수 $\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(\mathscr{L},D)$를 정의한다. 이때 $V$의 기저에 대한 위르 함수의 최댓값이 상수를 무시하고 $\mu N \lambda_D$를 지배한다.
• 2011년 아우티세르의 필터링을 사용하여 필요한 삼중체를 구성하고, 상수가 유한해지기 위한 성장 조건을 확인한다.
• 적절한 비유리 상승 후 국소 효과성 조건을 통해 비유리 네바린나 상수가 동치로 정의될 수 있음을 증명한다.
• 비유리 네바린나 상수 $\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(\mathscr{L},D) \leq \operatorname{Nev_{\operatorname{EF}}}(\mathscr{L},D)$를 보여주는 비교 정리를 수립한다. 여기서 $\operatorname{Nev_{\operatorname{EF}}}$는 에버트세–페레티 상수이다.
• 이론을 적용하여, 주어진 조건 하에서 비유리 네바린나 상수가 1보다 작을 경우, 팔링스의 2002년 논문에서의 예를 복원한다.
• 비교 결과를 통해 $\operatorname{Nev_{\operatorname{EF}}}(D) < 1$ 이면 $X$ 위의 모든 $D$-정수점이 적절한 제로-위치-닫힘 부분집합에 포함됨을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원래의 네바린나 상수는 최대 위르 함수가 스스로 위르 함수가 아닌 경우를 다룰 수 있도록 일반화될 수 있는가?
• RQ2 새로운 비유리 네바린나 상수는 네바린나 이론과 디오판틴스 추측에서 알려진 결과들을 복원하고 확장하는 통합된 프레임워크를 제공하는가?
• RQ3 비유리 네바린나 상수는 항상 에버트세–페레티 상수보다 작거나 같으며, 이는 정수점의 열거되지 않음에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 새로운 불변량을 사용하여 팔링스의 2002년 베이커의 정원 논문에서의 고전적 결과를 재증명할 수 있는가?
• RQ5 비유리 네바린나 상수가 1보다 작을 경우, 어떤 조건에서 $X \setminus D$ 위의 정수점들이 열거되지 않는가?

주요 결과

• 비유리 네바린나 상수 $\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(\mathscr{L},D)$는 위르 함수와 필터링 자료를 통해 정의되며, 적절한 비유리 상승 후 국소 효과성 조건과 동치임을 보였다.
• 논문은 $\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(\mathscr{L},D) \leq \operatorname{Nev_{\operatorname{EF}}}(\mathscr{L},D)$를 증명하여, 새로운 불변량이 항상 에버트세–페레티 상수보다 작거나 같음을 보였다.
• $\operatorname{Nev_{\operatorname{EF}}}(D) < 1$ 이면, $X$ 위의 모든 $D$-정수점이 적절한 제로-위치-닫힘 부분집합에 포함됨을 결론 내렸으며, 이는 적절한 닫힌 부분집합 외부에서의 유한성을 의미한다.
• 프레임워크는 팔링스의 2002년 논문에서의 예를 성공적으로 복원하였으며, $\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(D) < 1$ 이면 정수점의 열거되지 않음을 보였다.
• 모든 프로젝티브 다양체 $X$ 와 효과적 카르티에 분할 $D$ 에 대해, $\operatorname{Nev_{\operatorname{bir}}}(D) < 1$ 이면, $\mathbb{C}$ 에서 $X \setminus D$ 로의 모든 정칙 사상 $f: \mathbb{C} \to X \setminus D$ 중에서 제로-위치-닫힘 부분집합 외부에 존재하는 이미지가 열거되지 않아야 한다.
• 이 방법은 필터링 기법을 사용하여 비유리 네바린나 상수를 체계적으로 계산할 수 있게 하여, 비선형적으로 등가가 아닌 분할에 대한 새로운 열거되지 않음 결과를 도출할 수 있게 하였다.