[논문 리뷰] A Black--Scholes Model with Long Memory

John A. D. Appleby, John A. Daniels외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 과거 수익률에 의해 구동되는 스토크래틱 함수 미분 방정식을 통해 장기 기억성을 통합함으로써 블랙-쇼스 프레임워크를 연장하는 연속시간 스토크래틱 볼라틸리티 모델을 제안한다. 장거리 의존성이 발생하는 조건은 기억 커널의 일계모멘트가 무한대일 때이고, 정규적으로 변화하는 커널 하에서 자기공분산 함수의 정확한 渐近 감쇠 비율을 도출한다.

ABSTRACT

This note develops a stochastic model of asset volatility. The volatility obeys a continuous-time autoregressive equation. Conditions under which the process is asymptotically stationary and possesses long memory are characterised. Connections with the class of ARCH($\infty$) processes are sketched.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 블랙-쇼스 프레임워크를 연장하여 장기 기억성을 갖는 연속시간 스토크래틱 볼라틸리티 모델을 개발하는 것.
• 볼라틸리티 과정이 비어 있지 않은 장거리 의존성을 갖는 비율로 약한 정적(stationary)일 조건을 특성화하는 것.
• 연속시간 모델과 이산시간 ARCH(∞) 과정 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 기억 커널이 정규적으로 변화하는 경우 볼라틸리티의 자기공분산 함수 감쇠 비율을 정확히 결정하는 것.

제안 방법

• 모델은 과거의 탈트렌드 수익률에 대한 가중 평균에 선형적으로 의존하는 스토크래틱 함수 미분 방정식을 사용하며, 유한 및 무한 기간 동안의 과거 수익률을 고려한다.
• 볼라틸리티 과정 V(t)는 과거 수익률의 선형 기능으로 정의되며, 총 변동성과 정규화 조건을 만족하는 기억 커널 λ와 κ를 갖는다.
• 관련 적분 방정식의 스펙트럼 성질을 분석하여 V(t)의 점근적 정적성과 장거리 의존성을 연구한다.
• 정규적으로 변화하는 이론과 타우버리안 정리(Tauberian theorems)를 활용하여 Δ → ∞ 일 때 자기공분산 함수 γ(Δ)의 정확한 점근적 행동을 유도한다.
• 이산시간의 유사체는 연속적인 경우를 반영하도록 구성되며, Vn+1은 과거의 창발 요소들의 가중합에 의해 구동되며, 볼라틸리티 과정 자체에 대해 ARCH(∞)와 유사하다.
• 이론적 결과는 확률 미적분학, 마팅게일 이론, 컨볼루션 형 방정식의 점근적 분석을 통해 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제안된 모델에서 볼라틸리티 과정이 어떤 조건에서 점근적으로 약한 정적성을 갖는가?
• RQ2 볼라틸리티 과정이 자기공분산 함수가 적분 가능하지 않은 경우로 정의되는 장거리 의존성을 보일 때는 언제인가?
• RQ3 기억 커널의 밀도가 정규적으로 변화할 경우 볼라틸리티의 자기공분산 함수 감쇠 비율은 정확히 얼마인가?
• RQ4 제안된 연속시간 모델은 이산시간 ARCH(∞) 과정과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 기억 커널의 일계모멘트가 장기 기억의 존재 또는 부재를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 볼라틸리티 과정 V(t)는 기억 커널 κ의 일계모멘트가 유한하고 안정성 조건 β²∫₀^∞ K²(s)ds < 1 가 성립할 때에만 점근적으로 약한 정적성을 갖는다.
• 장거리 의존성은 기억 커널 κ의 일계모멘트가 무한대일 때, 즉 ∫₀^∞ s κ(ds) = ∞ 일 때에만 발생한다.
• 기억 커널 k(s)가 지수 -1-α (α ∈ (0,1/2)) 로 정규적으로 변화할 경우, 자기공분산 함수는 Δ → ∞ 일 때 γ(Δ) ∼ C Δ¹⁻²ᵃ 로 감쇠한다.
• α > 1 이고 k(s) ∈ RV∞(-1-α) 이면, 자기공분산 함수는 γ(Δ) ∼ C Δ⁻ᵃ 로 감쇠하며, C 는 σ, β, 및 커널 노름에 따라 달라진다.
• k(s) = L(s)s⁻³/² 이고 L 이 느리게 변화하는 경우, K ∈ L²(0,∞) 이 되는 것은 ∫₁^∞ L(t)²/t dt < ∞ 이고, 이 경우 γ(Δ) ∼ C ∫Δ^∞ L(s)²/s ds 로 감쇠한다.
• 이산시간 유사체에서는 볼라틸리티 과정이 점근적으로 정적일 조건은 커널 수열 (K_n) 이 제곱summable 이고 β²∑K_j² < 1 이며, 장기 기억은 ∑j a_j = ∞ 와 동치이다.