[논문 리뷰] A block preconditioned iterative method for Interior Penalty Discontinuous Galerkin discretisations of heterogeneous Stokes flow

Dominic Etienne Charrier, Dave A. May외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 13.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 27인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 $Q^2_k$--$Q_{k-1}$ 요소와 계층적 레전드르 다항식을 사용하여 변동 점성도 스토크스 유동의 고차원 불연속 갈레르킨 이산화를 위한 블록 조건부 반복 해법을 제안한다. 국소 점성도에 기반한 날카러운 벌점 매개변수 선택에 의해, 점성도의 급격한 변화와 다항식 차수 $k$에 대해 강건한 수렴성을 입증한다.

ABSTRACT

Provable stable arbitrary order symmetric interior penalty discontinuous Galerkin (SIP) discretisations of variable viscosity, incompressible Stokes flow utilising $Q^2_k$--$Q_{k-1}$ elements and hierarchical Legendre basis polynomials are developed and investigated.For solving the resulting linear system, a block preconditioned iterative method is proposed. The nested viscous problem is solved by a $hp$-multilevel preconditioned Krylov subspace method. For the $p$-coarsening, a twolevel method utilising element-block Jacobi preconditioned iterations as a smoother is employed. Piecewise bilinear ($Q^2_1$) and piecewise constant ($Q^2_0$) $p$-coarse spaces are considered. Finally, Galerkin $h$-coarsening is proposed and investigated for the two $p$-coarse spaces considered. Through a number of numerical experiments, we demonstrate that utilising the $Q^2_1$ coarse space results in the most robust $hp$-multigrid method for variable viscosity Stokes flow. Using this $Q^2_1$ coarse space we observe that the convergence of the overall Stokes solver appears to be robust with respect to the jump in the viscosity and only mildly depending on the polynomial order $k$. It is demonstrated and supported by theoretical results that the convergence of the SIP discretisations and the iterative methods rely on a sharp choice of the penalty parameter based on local values of the viscosity.

연구 동기 및 목표

• 변동 점성도를 가진 비압축성 스토크스 유동에 대해 안정적이고 임의의 차수의 대칭 내부 페널티 불연속 갈레르킨(SIPDG) 방법을 개발한다.
• 고차원 DG 이산화에서 유도된 선형 시스템을 위한 효율적인 반복 해법을 설계한다.
• 큰 점성도 변화와 다양한 다항식 차수 $k$에 대해 반복 방법의 수렴성이 강건하도록 보장한다.
• $hp$-다중격자 맥락에서 다양한 $p$-조밀공간과 $h$-이환 전략의 성능을 조사한다.
• 벌점 매개변수가 국소 점성도 값에 기반하여 선택되어야 최적의 수렴성을 확보할 수 있음을 이론적으로 및 수치적으로 입증한다.

제안 방법

• 스토크스 문제는 임의의 다항식 차수 $k$에 대해 계층적 레전드르 기저 다항식을 사용하는 $Q^2_k$--$Q_{k-1}$ 유한요소로 이산화된다.
• 선형 시스템을 해결하기 위해 블록 조건부 켈리 부분공간 방법이 사용되며, 점성하위문제는 $hp$-다중레벨 방법으로 해결된다.
• $p$-이환을 위해 이중레벨 방법이 사용되며, 요소 블록 자코비 조건부를 스무딩제로 활용한다.
• 두 가지 $p$-조밀공간을 고려한다: 조각별 이차 다항식($Q^2_1$)과 조각별 상수($Q^2_0$) 유한요소 공간.
• $p$-조밀공간에 대해 $h$-이환 전략을 도입하고 평가하여 강건성을 향상시킨다.
• SIPDG 수식에서의 벌점 매개변수는 안정성과 최적 수렴성을 확보하기 위해 국소 점성도 값에 기반하여 선택된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점성도가 변하는 스토크스 유동에 대해 $hp$-다중격자 해법의 수렴성에 $p$-조밀공간의 선택이 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ2 $p$-이환과 함께 $h$-이환을 적용할 경우, $hp$-다중격자 방법의 강건성이 향상되는가?
• RQ3 벌점 매개변수가 변동 점성도 문제에 대한 SIPDG 이산화의 안정성과 수렴성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 다항식 차수 $k$와 점성도 변화에 따라 해법 성능은 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 반복 해법의 수렴성은 광범위한 점성도 대비 범위에서 강건한가?

주요 결과

• $Q^2_1$ $p$-조밀공간이 점성도가 변하는 스토크스 유동에 대해 $hp$-다중격자 해법에서 가장 강건한 성능을 보였다.
• 전반적인 반복 해법의 수렴성은 큰 점성도 변화에 대해 강건하며, 다항식 차수 $k$에 대해 약간의 의존성만 보였다.
• 국소 점성도 값에 기반한 벌점 매개변수 선택이 최적 수렴성과 안정성 확보에 필수적임을 확인하였다.
• 이론적 분석에 따르면, SIPDG 이산화와 반복 방법의 수렴성은 이러한 날카러운 벌점 매개변수 선택에 기반한다.
• 수치 실험을 통해 다양한 시험 케이스에서 $Q^2_1$가 $Q^2_0$보다 강건성과 수렴 속도 면에서 뛰어난 성능을 보였다.
• $p$-이환과 $h$-이환의 조합은 해법의 강건성과 효율성을 더욱 향상시켰다.