[논문 리뷰] A bounded degree SOS hierarchy for large scale polynomial optimization with sparsity

Tillmann Weißer, Jean B. Lasserre외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 05.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대규모 다항식 최적화를 위한 희소 버전의 유계 차수 제곱합의 합(BSOS) 계층 구조를 제안하며, 구조적 희소성 구조를 활용하여 고정 크기의 준정형행렬 제약 조건을 유지한다. 희소성 패턴이 연속 교차 성질을 만족할 경우 계층 구조는 전역 최적해로 수렴하며, SOS-볼록 문제의 경우 첫 번째 단계에서 유한 수렴이 발생한다 — 이는 조밀한 경우와 동일한 결과를 반영한다.

ABSTRACT

We provide a sparse version of the bounded degree SOS (BSOS) hierarchy for polynomial optimization problems. The presented version permits to handle large scale problems which satisfy a structured sparsity pattern. When the sparsity pattern satisfies the running intersection property, this sparse BSOS hierarchy of semidefinite programs (with semidefinite constraints of fixed size) converges to the global optimum of the original problem. Moreover, for the class of SOS-convex problems, finite convergence takes place at the first step of the hierarchy, just as in the dense version.

연구 동기 및 목표

• 대규모 다항식 최적화에서 조밀한 제곱합(SOS) 계층 구조의 계산 비가역성 문제를 해결하기 위해.
• 다항식 최적화 문제에서의 구조적 희소성 패턴을 활용하여 계산 복잡도를 감소시키기 위해.
• 수렴 보장을 유지하면서 유계 차수 SOS(_BSOS)_계층 구조의 희소 변종을 개발하기 위해.
• SOS-볼록 문제의 경우 계층의 첫 번째 단계에서 유한 수렴을 보장하여 조밀한 BSOS 프레임워크의 결과를 재현하기 위해.

제안 방법

• 메모리 행렬과 국소 다항식 기저의 희소 표현을 차조르 스플라스 패턴을 사용하여 도입한다.
• 최적화 문제를 더 작은 고정 크기의 준정형행렬 제약 조건으로 분해하기 위해 연속 교차 성질을 적용한다.
• 각 수준에서 유계 차수 SOS 완화를 사용하는 희소 준정형행렬 프로그래밍(SDP) 계층을 구성한다.
• 희소성 보존을 위해 희소성 그래프의 차조르 분해를 통해 효율적인 SDP 해법을 가능하게 한다.
• 연속 교차 조건 하에서 조밀한 BSOS 계층 구조와 동일한 수렴 성질을 유지한다.
• SOS-볼록성 성질을 활용하여 계층의 첫 번째 단계에서 유한 수렴을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구조적 희소성 하에서, 유계 차수 SOS 계층의 희소 변종이 전역 최적해로 수렴할 수 있는가?
• RQ2 연속 교차 성질이 일반적인 다항식 최적화 문제에 대해 희소 BSOS 계층에서의 유한 수렴을 가능하게 하는가?
• RQ3 SOS-볼록 문제의 경우 희소 BSOS 계층이 조밀한 경우와 마찬가지로 첫 번째 단계에서 유한 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ4 희소성 활용은 계층 내 준정형행렬 제약 조건의 크기와 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 희소성 패턴에 어떤 조건이 계층의 수렴을 보장하는가?

주요 결과

• 희소성 패턴이 연속 교차 성질을 만족할 경우, 희소 BSOS 계층은 원래 다항식 최적화 문제의 전역 최적해로 수렴한다.
• 희소 계층 내 준정형행렬 제약 조건은 고정 크기 유지되어 대규모 문제에 대한 확장성 보장한다.
• SOS-볼록 문제의 경우, 조밀한 BSOS 사례와 마찬가지로 계층의 첫 번째 단계에서 유한 수렴이 달성된다.
• 희소성 활용을 통해 계산 복잡도를 크게 감소시키면서도 조밀한 BSOS 계층의 수렴 보장을 유지한다.
• 희소성 그래프의 차조르 분해를 통해 연속 교차 조건 하에서 희소 SDP 완화가 조밀한 경우와 동등함을 보장한다.