[논문 리뷰] A branch-and-price approach with MILP formulation to modularity density maximization on graphs

Keisuke Sato, Yoichi Izunaga|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 08.

Advanced Graph Theory Research인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무작위 변동 없이 정확한 최적해를 보장하는 결정적 branch-and-price 알고리즘을 제안하며, 무작위 그래프에서 조합 밀도 최대화 문제를 정확히 해결하기 위해 혼합정수선형계획법(MILP) 수식을 사용한다. 세트-패킹 타월화와 다중 컷팅 평면 기법을 활용하여, 표준 PC에서 100개 이상의 정점을 가진 실제 대용량 인스턴스—예를 들어 단백질 p53—을 4분 이내에 최적해로 해결한다.

ABSTRACT

For clustering of an undirected graph, this paper presents an exact algorithm for the maximization of modularity density, a more complicated criterion to overcome drawbacks of the well-known modularity. The problem can be interpreted as the set-partitioning problem, which reminds us of its integer linear programming (ILP) formulation. We provide a branch-and-price framework for solving this ILP, or column generation combined with branch-and-bound. Above all, we formulate the column generation subproblem to be solved repeatedly as a simpler mixed integer linear programming (MILP) problem. Acceleration techniques called the set-packing relaxation and the multiple-cutting-planes-at-a-time combined with the MILP formulation enable us to optimize the modularity density for famous test instances including ones with over 100 vertices in around four minutes by a PC. Our solution method is deterministic and the computation time is not affected by any stochastic behavior. For one of them, column generation at the root node of the branch-and-bound tree provides a fractional upper bound solution and our algorithm finds an integral optimal solution after branching.

연구 동기 및 목표

• 기존 조합 밀도 기반 커뮤니티 탐지에서의 해상도 한계와 다중해 문제를 해결하기 위해 조합 밀도를 더 우수한 클러스터링 기준으로 도입한다.
• 표준 조합 밀도보다 비선형 분수형태와 커뮤니티 크기 의존성으로 인해 더 복잡한 조합 밀도 최대화 문제를 정확히 최적화할 수 있는 프레임워크를 개발한다.
• 조합 밀도 최적화의 계산적 비가역성 문제를 해결하기 위해 이를 세트-분할 정수선형계획법(ILP)으로 공식화하고 branch-and-price를 통해 해결한다.
• 컬럼 생성 과정에서의 새로운 가속 기법을 통해 대규모 그래프 클러스터링 문제, 특히 100개 이상의 정점이 있는 문제를 효율적으로 해결할 수 있도록 한다.
• 스토크래틱 서치나 메타휴리스틱 기반 방법에 의존하지 않고 결정적이고 비휴리스틱인 해법을 제공하여 최적 결과를 보장한다.

제안 방법

• 각 컬럼이 잠재적 커뮤니티와 그에 따른 조합 밀도 기여도를 나타내는 세트-분할 ILP로 조합 밀도 최대화 문제를 수식화한다.
• 컬럼 생성과 분할-결합 기반의 브랜치-앤드-바운드를 결합한 브랜치-앤드-프라이스 프레임워크를 구현하여 ILP 문제를 해결한다. 이 과정에서 가격 설정 하위문제를 반복적으로 해결한다.
• 가격 설정 하위문제를 더 단순한 혼합정수선형계획법(MILP)으로 재구성하여 표준 최적화 솔버를 활용한 효율적인 컬럼 생성을 가능하게 한다.
• 제한된 마스터 문제의 세트-패킹 타월화를 도입하여 컬럼 생성 과정에서 수렴 속도를 가속화하고 이중 해법 시간을 단축시킨다.
• 한 번에 여러 개의 컬럼을 추가하는 다중 컷팅 평면 기법을 적용하여 가격 설정 단계의 효율성을 향상시킨다.
• 세트-패킹 타월화에서 유도된 이중 해를 활용해 컬럼 생성을 이끌고, 브랜치-앤드-프라이스 과정 중에 세트-분할 제약 조건을 동적으로 갱신한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브랜치-앤드-프라이스 프레임워크를 통해 대규모 실제 그래프에 대해 조합 밀도 최대화 문제를 정확히 해결할 수 있는가?
• RQ2 세트-패킹 타월화와 다중 컷팅 평면 기법 같은 가속 기법이 조합 밀도 최적화의 계산 시간을 얼마나 효과적으로 줄이는가?
• RQ3 제안된 MILP 기반의 가격 설정 하위문제 수식화 방식이 이전 방법 대비 더 빠르고 신뢰할 수 있는 컬럼 생성을 가능하게 하는가?
• RQ4 기존 휴리스틱 및 메타휴리스틱 방법에 비해 표준 벤치마크 인스턴스에서 알고리즘이 얼마나 뛰어난 성능을 보이는가?
• RQ5 100개 이상의 정점이 있는 그래프에 대해 실용적인 시간 제한 내에 결정적이고 최적의 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 MILP 가격 설정과 가속 기법을 적용한 브랜치-앤드-프라이스 알고리즘은 표준 PC에서 벤치마크 인스턴스—Graph, Les Misérables, A00 main, Protein p53—모두를 약 4분 이내에 해결했다.
• Protein p53 인스턴스(112개 정점)의 경우, 루트 노드에서 컬럼 생성을 통해 분수형 상한값을 확보한 후 최적의 정수해를 도출하여 브랜치-앤드-프라이스 접근 방식의 타당성을 입증했다.
• 세트-패킹 타월화가 이중 해법 시간을 크게 감소시키고 수렴 속도를 향상시켜 특히 초기 반복 단계에서 기존 싱글렉스 방법보다 뛰어난 성능을 보였다.
• 한 번에 여러 컷팅 평면을 추가하는 기법은 가격 설정 반복 횟수를 줄였지만 반복당 비용은 증가시켜 일부 경우에서 세트-패킹 타월화만 사용하는 것보다 성능이 열 劣했다.
• 컬럼 생성만으로는 아직 해결되지 않은 인스턴스에서 최신 휴리스틱 기법(예: Santiago and Lamb, 2017)보다 더 높은 하한값을 확보하지 못했으며, 이는 컬럼 생성이 단독으로 강력한 휴리스틱으로서 기능하지 못한다는 것을 시사한다.
• 알고리즘은 완전히 결정적이며, 계산 시간에 무작위적 요동이 영향을 주지 않아 결과의 재현 가능성과 신뢰성을 보장한다.