[논문 리뷰] A Brezis-Nirenberg type result for mixed local and nonlocal operators

Stefano Biagi, Serena Dipierro외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 15.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 라플라스 연산자와 분수 라플라스 연산자를 조합한 혼합 국소 및 비국소 연산자에 대해 브레지스-니레버그 유형의 결과를 확립한다. 이는 해당 샤페브 불등식에서 최적 상수가 고전적 샤페브 상수 $\mathcal{S}_n$ 와 같음을 증명하며, 특히 이 상수가 결코 도달되지 않음을 보여주어, 유계 별형 도메인에서 $\lambda \leq 0$ 일 때 임계 문제의 해가 존재하지 않음을 이끌어낸다.

ABSTRACT

We study a critical problem for an operator of mixed order obtained by the superposition of a Laplacian with a fractional Laplacian. In particular, we investigate the corresponding Sobolev inequality, detecting the optimal constant, which we show that is never achieved. Moreover, we present an existence (and nonexistence) theory for the corresponding subcritical perturbation problem.

연구 동기 및 목표

• 혼합 국소 및 비국소 연산자를 포함한 임계 문제에 대한 해의 존재성과 비존재성을 조사한다.
• 라플라스 연산자와 분수 라플라스 연산자를 포함한 혼합 순서 샤페브 불등식에서 최적 상수를 규명한다.
• 고전적 브레지스-니레버그 프레임워크를 혼합 순서 연산자로 확장하며, 특히 왜곡된 문제에서 매개수 $\lambda$ 의 역할을 분석한다.
• 혼합 샤페브 불등식에서 최적 상수가 고전적 샤페브 상수 $\mathcal{S}_n$ 와 같으며, 이는 결코 도달되지 않음을 증명한다.

제안 방법

• 연산자의 에너지 공간이 잘 정의되도록, $\Omega$ 내에서 미분 가능하고 컴actsupport를 가진 함수들의 클로처를 사용하여 함수적 설정을 형식화한다.
• 혼합 샤페브 불등식에서 최적 상수 $\mathcal{S}_{n,s}(\Omega)$ 가 고전적 샤페브 상수 $\mathcal{S}_n$ 와 같음을 증명하며, 이는 $s$ 와 $\Omega$ 에 관계없이 일정하다.
• 포호자에브 유형의 항등식을 사용하여, 유계 별형 도메인에서 $\lambda \leq 0$ 일 때 양의 해가 존재하지 않음을 보인다.
• 시험 함수 $t\eta_\varepsilon$ 를 사용하여 마운틴 패스 정리를 적용하며, 중심이 한 점에 집중된 붕괴 프로파일을 분석하고 에너지 함수 $\mathcal{J}_{\lambda,p}$ 를 연구한다.
• 에너지 함수 $\mathcal{J}_{\lambda,p}(t\eta_\varepsilon)$ 의 추정을 $\varepsilon^{\kappa_{s,n}}$ 과 $\varepsilon^{\beta_{p,n}}$ 를 포함한 점근 전개를 통해 수행하며, 지수의 상대적 크기에 따라 경우를 구분한다.
• 비율 $\lambda \to \infty$ 또는 $\varepsilon \to 0$ 일 때의 임계점 $t_{\varepsilon,\lambda}$ 의 행동을 분석하여 에너지 함수의 Supremum 에 대한 균일한 상한을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼합 순서 샤페브 불등식에서 최적 상수가 고전적 샤페브 상수 $\mathcal{S}_n$ 와 같은가?
• RQ2 혼합 샤페브 불등식 $\mathcal{S}_{n,s}(\Omega)$ 의 최적 상수가 도메인 $\Omega$ 나 분수 매개수 $s$ 에 의존하는가?
• RQ3 혼합 샤페브 불등식에 대해 최소화자가 존재하는가, 즉 최적 상수가 도달되는가?
• RQ4 왜곡된 문제 $\mathcal{L}u = u^{2^*-1} + \lambda u^p$ 가 도메인 $\Omega$ 에서 양의 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ5 $\lambda$ 가 부분 임계 왜곡 문제에서 해의 존재성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 혼합 순서 샤페브 불등식에서 최적 상수는 정확히 고전적 샤페브 상수이다: 모든 $s \in (0,1)$ 과 임의의 열린 집합 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 에 대해 $\mathcal{S}_{n,s}(\Omega) = \mathcal{S}_n$ 이다.
• 최적 상수 $\mathcal{S}_{n,s}(\Omega)$ 는 결코 도달되지 않으며, 이는 관련 변분 문제에 최소화자가 존재하지 않음을 의미한다.
• $\lambda \leq 0$ 일 때, 어떤 유계 별형 도메인 $\Omega$ 에서도 왜곡된 문제 $\mathcal{L}u = u^{2^*-1} + \lambda u^p$ 에 양의 해가 존재하지 않는다.
• $\lambda > 0$ 이고 $p \in [1, 2^* - 1)$ 일 때, 마운틴 패스 정리에 의해 왜곡된 문제에 비자명한 해가 존재함을 보장한다.
• 충분히 큰 $\lambda$ 에 대해 에너지 함수 $\mathcal{J}_{\lambda,p}(t\eta_\varepsilon)$ 는 $\frac{1}{n}(\mathcal{S}_n)^{n/2}$ 에 대해 균일하게 위로 유계이며, 이는 임계점의 존재를 보장한다.
• 임계점 $t_{\varepsilon,\lambda}$ 의 점근적 행동은 지수 $\kappa_{s,n}$ 과 $\beta_{p,n}$ 의 상대적 크기에 따라 달라지며, $\kappa_{s,n} \leq \beta_{p,n}$ 일 때 $\lambda \to \infty$ 에서 $t_{\varepsilon,\lambda} \to 0$ 이다.