[논문 리뷰] A canonical Tannaka duality for finite seimisimple tensor categories

Takahiro Hayashi|ArXiv.org|1999. 04. 15.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 16인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 유한 반단순 텐서 범주에 대해 표준적인 Tannaka 쌍대성을 구축함으로써, 원래 범주와 동치인 comodule 범주를 가진 표준적인 얼굴 대수( face algebra)를 구성함으로써, 표준적인 Tannaka 쌍대성을 확립한다. 유한 곱 대수 $ R $ 위의 이중모듈러 범주로의 임베딩을 위한 일반화된 Tannaka-Krein 쌍대성을 사용하여, 임베딩이 존재하지 않는 모든 분할 유한 반단순 텐서 범주가 표준적인 섬세한 함수를 통해 자연스러운 얼굴 대수 표현을 갖는다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

For each finite semisimple tensor category, we associate a quantum group (face algebra) whose comodule category is equivalent to the original one, in a simple natural manner. To do this, we also give a generalization of the Tannaka-Krein duality, which assigns a face algebra for each tensor category equipped with an embedding into a certain kind of bimodule category.

연구 동기 및 목표

• 유한 반단순 텐서 범주가 $ \mathbb{mod}(\mathbb{K}) $에 임베딩이 없는 경우에도 Tannaka-Krein 쌍대성을 일반화하는 것.
• 기본 체 $ \mathbb{K} $의 유한 곱의 형태인 $ R $에 대해, 임의의 분할 유한 반단순 텐서 범주 $ \mathbb{C} $에서 $ R $-이중모듈러 범주로의 표준적인 섬세한 함수 $ \Omega_0 $를 구성하는 것.
• 일반화된 Tannaka 쌍대성 프레임워크를 통해 이러한 텐서 범주와 $ \mathcal{V} $-얼굴 대수 사이의 표준적 대응을 확립하는 것.
• 결과로 얻어진 얼굴 대수 $ C(\Omega_0) $ 가 원래 범주를 그 유한차원 comodule 범주로 재현함으로써, 표준적인 양자군 쌍대를 제공하는 것.

제안 방법

• 유한 집합 $ \mathcal{V} $의 $ \mathbb{K} $-선형 스트링으로서 $ R = R_{\mathcal{V}} $를 정의하고, $ \lambda\mu = \delta_{\lambda\mu}\lambda $의 곱 구조를 부여함으로써, 유한차원 반단순 대수를 만든다.
• 대수 $ E = \overset{\circ}{R} \otimes R $를 정의하고, $ \Delta(\overset{\circ}{\lambda}\mu) = \sum_{\nu \in \mathcal{V}} \overset{\circ}{\lambda}\nu \otimes \overset{\circ}{\nu}\mu $ 및 $ \varepsilon(\overset{\circ}{\lambda}\mu) = \delta_{\lambda\mu} $를 통해 코알제브라 구조를 부여한다.
• $ \mathcal{V} $-얼굴 대수 $ \mathfrak{H} $를 $ E $ 위에서 정의하며, $ \Delta(ab) = \Delta(a)\Delta(b) $ 및 $ \varepsilon(ab) = \sum_{\nu} \varepsilon(a\nu)\varepsilon(\overset{\circ}{\nu}b) $를 만족하는 이중대수 유사 대상으로 간주한다.
• 충실하고 정확하며 단순곱을 갖는 함자 $ \Omega: \mathbb{C} \to \mathbb{bmd}(R) $의 코엔드 $ C(\Omega) $를 구성하며, 이는 자연스러운 comodule 구조를 지닌 $ \mathcal{V} $-얼굴 대수가 된다.
• $ \mathcal{V} $-Tannaka 쌍대성을 사용하여 $ \mathbb{C} \cong \mathbb{com}(C(\Omega)) $ 를 텐서 범주로서 동치로 보이며, 이 동치는 $ \Omega $ 에 의해 유도된다.
• 표준적인 섬세한 함수 $ \Omega_0(X)_{\lambda\mu} = \mathbb{C}(L_\mu, L_\lambda \otimes X) $ 를 정의하며, 여기서 $ \{L_\lambda\} $ 는 단순 대상의 완전 집합이다. 이를 통해 보편적인 이중 얼굴 대수를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 반단순 텐서 범주가 $ \mathbb{mod}(\mathbb{K}) $에 임베딩이 없는 경우에도 표준적인 Tannaka 쌍대성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 유한 곱 대수 $ R $ 위의 이중모듈러 범주로의 임베딩을 고려할 때, Tannaka-Krein 쌍대성을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 어떤 주어진 분할 유한 반단순 텐서 범주를 복원하는 comodule 범주를 갖는 자연스러운 얼굴 대수의 구성이 존재하는가?
• RQ4 결과로 얻어진 얼굴 대수가 텐서 범주의 단순곱 및 반대칭 구조에서 유래하는 구조는 무엇인가?
• RQ5 표준적인 섬세한 함수 $ \Omega_0 $ 는 범주의 표현론적 자료를 어떻게 이중모듈러 사상으로 표현하는가?

주요 결과

• 모든 분할 유한 반단순 텐서 범주 $ \mathbb{C} $에 대해, $ R = R_{\mathcal{V}} $ 이며 $ \Omega_0(X)_{\lambda\mu} = \mathbb{C}(L_\mu, L_\lambda \otimes X) $ 로 정의되는 표준적인 충실하고 정확하며 단순곱을 갖는 함자 $ \Omega_0: \mathbb{C} \to \mathbb{bmd}(R) $ 가 존재한다.
• 이 함자의 코엔드 $ C(\Omega_0) $ 는 $ \mathcal{V} $-얼굴 대수이며, 그 유한차원 comodule 범주 $ \mathbb{com}(C(\Omega_0)) $ 는 텐서 범주로서 $ \mathbb{C} $ 와 동치이다.
• 이 구성은 $ \mathbb{mod}(\mathbb{K}) $로의 섬세한 함수가 없는 경우에도 일반화된 고전적 Tannaka-Krein 쌍대성을 확장하는 표준적인 양자군 쌍대를 제공하는 얼굴 대수를 유도한다.
• 만약 $ \mathbb{C} $ 가 반대칭적이라면, $ C(\Omega_0) $ 는 전단사 역원을 갖는다. 따라서 이는 호프 $ \mathcal{V} $-얼굴 대수가 된다.
• 유한군 $ G $ 에 대해 $ \mathbb{com}(\mathbb{C}[G]) $ 의 예에서, 표준적인 이중 얼굴 대수의 기저는 $ \{e^a_b[g]\} $ 로 주어지며, $ e^a_b[g]e^c_d[h] = \delta_{ag,c}\delta_{bg,d}e^a_b[gh] $ 를 만족하고, 코곱은 $ \Delta(e^a_b[g]) = \sum_c e^a_c[g] \otimes e^c_b[g] $ 이다.
• 얼굴의 아이디포텐트는 $ \overset{\circ}{a} = \sum_b e^a_b[1] $, $ b = \sum_a e^a_b[1] $ 로 주어지며, 역원은 $ S(e^a_b[g]) = e^{bg}_{ag}[g^{-1}] $ 로 주어져 호프 대수의 구조를 확인한다.