[논문 리뷰] A capacity approach to box and packing dimensions of projections of sets and exceptional directions

K. J. Falconer|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 30.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 21인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 커널과 용량을 사용하여 상자 및 패킹 차원 프로파일을 용량 기반 접근법으로 정의하는 방법을 제안하며, 이는 이전의 간접적 정의보다 더 직접적이고 계산에 용이한 대안을 제공한다. 이 논문은 Borel 집합 E의 m차원 차원 프로파일이 거의 모든 m차원 부분공간으로의 사영에서의 일반적인 상자 또는 패킹 차원과 일치함을 증명하며, 사영이 평균값 이하에 머무르는 예외적인 집합에 대한 새로운 푸리에 기반 추정을 제공한다.

ABSTRACT

Dimension profiles were introduced in [8,11] to give a formula for the box-counting and packing dimensions of the orthogonal projections of a set $R^n$ onto almost all $m$-dimensional subspaces. However, these definitions of dimension profiles are indirect and are hard to work with. Here we firstly give alternative definitions of dimension profiles in terms of capacities of $E$ with respect to certain kernels, which lead to the box-counting and packing dimensions of projections fairly easily, including estimates on the size of the exceptional sets of subspaces where the dimension of projection is smaller the typical value. Secondly, we argue that with this approach projection results for different types of dimension may be thought of in a unified way. Thirdly, we use a Fourier transform method to obtain further inequalities on the size of the exceptional subspaces.

연구 동기 및 목표

• R^n 내의 집합에 대한 상자 및 패킹 차원 프로파일을 더 직관적이고 계산에 용이한 방식으로 정의하기 위해.
• 측도 이론적 간접 정의를 특정 커널을 사용한 용량 기반 공식으로 대체하기 위해.
• 상자 차원 프로파일이 평균값 이하로 떨어지는 예외적인 부분공간 집합의 크기에 대한 날카로운 경계를 유도하기 위해.
• 모든 차원 유형(Hausdorff, 상자, 패킹)을 동일한 용량 프레임워크를 통해 통합적으로 다루기 위해.
• 푸리에 변환 기법을 적용하여 상자 및 패킹 차원에 대한 예외적인 사영 방향의 차원에 대한 새로운 정량적 추정을 도출하기 위해.

제안 방법

• 연속 커널 φr^s(x) = min{|x|^{-s}, r^{-s}}에 대한 Cr^s(E)의 渐近적 행동을 통해 집합 E의 s-상자 차원 프로파일을 정의한다.
• 평형 측도와 용량 이론을 사용하여 Cr^s(E)의 로그 성장률이 사영의 상자 또는 패킹 차원과 관련이 있음을 규명한다.
• dim_B^m(E)가 거의 모든 m차원 부분공간 V에 대해 π_V(E)의 거의 어디서나의 차원과 일치함을 증명한다.
• 푸리에 분석을 적용하여, 사영 차원이 일반적인 값보다 엄밀히 낮은 곳에서의 예외 집합의 차원에 대한 새로운 상한을 도출한다.
• 상자 차원 프로파일을 활용해 패킹 차원 프로파일을 정의함으로써 결과를 패킹 차원으로 확장한다.
• 횔더 부등식과 스케일링 추론을 사용하여 서로 다른 척도에서의 차원 프로파일 간의 부등식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상자 및 패킹 차원 프로파일은 간접적인 측도 이론적 구성 방식을 피하면서도 더 직접적이고 용량 이론 기반으로 재정의될 수 있는가?
• RQ2 집합의 s차원 차원 프로파일과 그 m차원 부분공간으로의 사영에 대한 차원 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 사영 차원이 일반적인 값보다 엄밀히 낮은 예외적인 부분공간 집합의 크기는 어느 정도일 수 있는가?
• RQ4 푸리에 변환 기법을 통해 상자 및 패킹 차원에 대한 예외 집합의 크기에 대한 개선된 정량적 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ5 다른 척도 s에서의 차원 프로파일 행동을 지배하는 부등식은 무엇인가?

주요 결과

• m차원 상자 차원 프로파일 dim_B^m(E)는 거의 모든 V ∈ G(n,m)에 대해 π_V(E)의 거의 어디서나의 차원과 일치하며, 이는 일반적인 사영 차원의 직접적 특성화를 제공한다.
• s ≥ n일 경우, s-상자 차원 프로파일 dim_B^s(E)는 E의 표준 상자 수 세기 차원으로 축소된다.
• 패킹 차원 프로파일 dim_P^m(E)는 상상 차원 프로파일을 통해 정의되며, 거의 모든 V ∈ G(n,m)에 대해 π_V(E)의 거의 어디서나의 패킹 차원과 일치한다.
• 적절한 조건 하에서, dim_B π_V(E) < dim_B^m(E)를 만족하는 부분공간 V의 예외 집합의 차원은 최대 m(n−m) − γ이며, 여기서 γ > 0이다.
• 0 < s ≤ t일 때, 부등식 dim_B^s(E) ≥ d(t)/(1 + (1/s − 1/t)d(t))가 성립하며, 이는 차원 프로파일에 대한 날카로운 하한을 제공한다.
• 용량 기반 접근법은 Hausdorff, 상자, 패킹 차원을 통합적으로 다룰 수 있으며, 각 유형에 대해 유사한 차원 프로파일을 제공한다.