[논문 리뷰] A categorification of U_T sl(1,1) and its tensor product representations

Tian Yin|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 17.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 27인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 미분가환대수(differential graded, DG) 대수와 그 호모로지 범주를 사용하여 양자(super)군 $Υ_T(\mathfrak{sl}(1|1))$ 및 그 텐서곱 표현 $V_1^{\bigotimes n}$의 분류화를 구축한다. DG 범주 $HP(A)$, $HP(B)$, $HP(R_n)$를 정의하여 각각 $Υ_T(\mathfrak{sl}(1|1))$, 그 텐서곱, $V_1^{\bigotimes n}$의 그로텐디크 군을 실현하며, 대수적 연산과 표현 작용을 범주적 함자로 올리기 위한 기반을 마련한다.

ABSTRACT

We define the Hopf superalgebra U_T sl(1,1), which is a variant of the quantum supergroup U_q sl(1,1), and its tensor product representations V_1^{\otimes n} for n>0. We construct families of DG algebras A, B and R_n, and consider the DG categories DGP(A), DGP(B) and DGP(R_n), which are full DG subcategories of the categories of DG A-, B- and R_n-modules generated by certain distinguished projective modules. Their 0th homology categories HP(A), HP(B), and HP(R_n) are triangulated and give algebraic formulations of the contact categories of an annulus, a twice punctured disk, and an n times punctured disk. We categorify the multiplication and comultiplication on U_T sl(1,1) to a bifunctor HP(A) imes HP(A) --> HP(A) and a functor HP(A) --> HP(B), respectively. The U_T sl(1,1)-action on V_1^{\otimes n} is lifted to a bifunctor HP(A) imes HP(R_n) --> HP(R_n).

연구 동기 및 목표

• Hopf(super)대수 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$의 분류화를 개발하며, 이는 $\mathbf{U}_q(\mathfrak{sl}(1|1))$의 변형이다.
• 호모로지 범주 $HP(A)$, $HP(B)$, $HP(R_n)$가 각각 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$, 그 텐서곱, $V_1^{\bigotimes n}$의 그로텐디크 군을 실현하는 DG 대수 $A$, $B$, $R_n$를 구축한다.
• $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$의 대수적 곱셈과 코곱셈을 $HP(A)$와 $HP(B)$ 사이의 함자로 올리기.
• $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$-작용을 $V_1^{\bigotimes n}$에 대해 이중함자 $HP(A) \times HP(R_n) \to HP(R_n)$로 올리며, 범주적 표현을 제공한다.

제안 방법

• 생성자 $E, F, T, T^{-1}$와 관계 $E^2 = F^2 = 0$, $EF + FE = I - T$, $ET = TE$, $FT = TF$, $TT^{-1} = I$를 갖는 $\mathbb{Z}$ 위의 Hopf(super)대수 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$를 정의한다.
• 로크 다이어그램과 스택킹의 조합론적 자료로부터 $A$, $B$, $R_n$의 DG 대수를 구성하여 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$의 대수적 구조와 그 표현을 코딩한다.
• 특정 프로젝티브 모듈을 생성하는 DG 모듈의 전부분 범주인 DG 범주 $DGP(A)$, $DGP(B)$, $DGP(R_n)$를 정의한다.
• $0$차 호모로지 범주 $HP(A)$, $HP(B)$, $HP(R_n)$를 계산하며, 이들은 삼각형 범주이며 각각 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$, $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1)) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$, $V_1^{\bigotimes n}$의 그로텐디크 군과 동형임을 실현한다.
• 로크 다이어그램 위에서의 오른쪽 곱셈과 미분 작용을 통해 $H(R_n)$-$A \boxtimes R_n$-이중모듈 $C_n$을 정의하며, 관계와 DG 구조와의 호환성을 확보한다.
• $C_n$을 사용하여 $DGP(A \boxtimes R_n) \to DGP(H(R_n))$를 정의하는 함자 $\eta_n$를 텐서곱을 통해 정의하며, 이로부터 $HP(A \boxtimes R_n) \to HP(H(R_n))$로의 함자가 유도되어 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$-작용을 $V_1^{\bigotimes n}$에 대해 올린다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DG 대수와 그 호모로지 범주를 통해 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$의 그로텐디크 군을 실현하는 분류화가 가능한가?
• RQ2 DG 범주와 이중모듈을 통해 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$의 텐서곱 표현 $V_1^{\bigotimes n}$을 어떻게 분류화할 수 있는가?
• RQ3 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$의 코곱셈과 곱셈 연산이 $HP(A)$와 $HP(B)$ 사이의 함자로 올릴 수 있는가?
• RQ4 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$-작용이 $V_1^{\bigotimes n}$에 대해 이중함자 $HP(A) \times HP(R_n) \to HP(R_n)$로 올릴 수 있는가?
• RQ5 범주적 작용은 등가에 대해 결합법칙을 만족하는가? 그러한 결합법칙을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $HP(A)$의 그로텐디크 군은 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$와 동형이며, 기저 원소는 $\Gamma \in \{E, F\}$ 및 $\mathbf{x} \in \mathcal{B}_n$에 대해 $[P(\Gamma, \mathbf{x})]$로 표현된다.
• $HP(R_n)$의 그로텐디크 군은 $V_1^{\bigotimes n}$과 동형이며, 기저는 $\Gamma \in \{E, F\}$ 및 $\mathbf{x} \in \mathcal{B}_{n,k}$에 대해 $\{[P(\Gamma, \mathbf{x})]\}$로 주어진다.
• $K_0(\cal{M}_n): K_0(HP(A)) \times K_0(HP(H(R_n))) \to K_0(HP(H(R_n)))$로 유도된 함자는 $V_1^{\bigotimes n}$에 대한 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$-작용과 일致함을 확인하여 표현의 분류화를 확인한다.
• $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1))$의 코곱셈 $\Delta$는 함자 $HP(A) \to HP(B)$로 분류화되며, 곱셈은 이중함자 $HP(A) \times HP(A) \to HP(A)$로 분류화된다.
• $C_n$의 오른쪽 $A \boxtimes R_n$-모듈構조는 잘 정의되어 있으며 DG 미분과 호환되며, 로컬 관계와 로크 다이어그램 상의 교환 법칙을 통해 검증된다.
• $HP(A)$가 $HP(H(R_n))$에 작용하는 방식의 $\cal{M}_n$은 잘 정의되어 있으며 대수적 작용을 올리며, $K_0(\cal{M}_n)$은 표현 $\mathbf{U}_T(\mathfrak{sl}(1|1)) \times V_1^{\bigotimes n} \to V_1^{\bigotimes n}$과 일致한다.