[논문 리뷰] A cell-centered implicit-explicit Lagrangian scheme for a unified model of nonlinear continuum mechanics on unstructured meshes

Boscheri W., Chiocchetti S.외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 01.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 113인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 비정렬 메esh에서 비선형 연속체역학의 통합된 Godunov-Peshkov-Romenski(GPR) 모델을 위한 셀 중심형 음성-양성(IMEX) 라그랑주 유한체적 스킴을 제시한다. 이 스킴은 공간 및 시간에서 2차 정밀도를 확보하며 기하학적 보존법칙(GCL)을 만족하고, 점진적으로 유지되는 성질을 지녀 유체, 고체 및 전이 영역의 물성 행동—점성, 열전도, 탄성 및 탄성-플라스틱 반응—을 2차원 및 3차원 시험 케이스에서 매우 높은 안정성과 에너지 보존성을 유지하면서 정확하게 포착한다.

ABSTRACT

A cell-centered implicit-explicit updated Lagrangian finite volume scheme on unstructured grids is proposed for a unified first-order hyperbolic formulation of continuum fluid and solid mechanics, namely the Godunov-Peshkov-Romenski (GPR) model. The scheme provably respects the stiff relaxation limits of the continuous model at the fully discrete level, thus it is asymptotic preserving. Furthermore, the GCL is satisfied by a compatible discretization that makes use of a nodal solver to compute vertex-based fluxes that are used both for the motion of the computational mesh as well as for the time evolution of the governing PDEs. Second order of accuracy in space is achieved using a TVD piecewise linear reconstruction, while an implicit-explicit (IMEX) Runge-Kutta time discretization allows the scheme to obtain higher accuracy also in time. Particular care is devoted to the design of a stiff ODE solver, based on approximate analytical solutions of the governing equations, that plays a crucial role when the visco-plastic limit of the model is approached. We demonstrate the accuracy and robustness of the scheme on a wide spectrum of material responses covered by the unified continuum model that includes inviscid hydrodynamics, viscous heat conducting fluids, elastic and elasto-plastic solids in multidimensional settings.

연구 동기 및 목표

• 비정렬 메쉬에서 연속체역학의 통합 초호기 GPR 모델을 위한 강력하고 2차 정밀도를 갖춘 라그랑주 유한체적 스킴을 개발한다.
• GPR 모델의 강성 있는 회복 한계—나비에-스토크스-푸리에 및 탄성 한계—를 정확히 포착함으로써 스킴이 점진적으로 유지되도록 보장한다.
• 메쉬 운동과 PDE의 진화를 위한 정점 기반 유량을 계산하는 정점 해석기를 통해 기하학적 보존법칙(GCL)을 유지한다.
• 단일 통합 프레임워크 내에서 이상 기체, 점성 유체, 탄성 고체 및 탄성-플라스틱 재료의 다양한 물성 반응을 정확하게 시뮬레이션할 수 있도록 한다.
• 반환 소스 항을 반명시적으로 처리함으로써 강성 영역에서 안정성과 정밀도를 확보하기 위해 반명시적 미분방정식(OED) 해석기를 개발한다.

제안 방법

• 보존 변수(질량, 운동량, 에너지)를 셀 중심에 저장하고 수치적 유량을 정점 기반 리만 해석기를 통해 계산하는 셀 중심형 유한체적 프레임워크를 사용한다.
• 메쉬 운동은 인접한 셀들 사이의 1차원 리만 문제로부터 계산된 정점 속도로 제어되며, 이는 이산적인 가우스 정리에 의해 GCL 준수를 보장한다.
• 보존 변수의 TVD(piecewise linear) 재구성 기법을 통해 2차 공간 정밀도를 확보한다.
• 강성 있는 회복 항은 음성으로, 유량 항은 양성으로 처리하는 음성-양성(IMEX) 룬게-쿠타 시간 이산화를 적용한다.
• 특히 나비에-스토크스-푸리에 및 초탄성 한계 근처에서 강성 있는 GPR 모델의 회복 항을 처리하기 위해 맞춤형 반명시적 미분방정식(OED) 해석기를 개발하였다.
• 회전 자유도가 무시할 만큼 작은 경우, 회전 자유도가 없는 대칭 편분만을 진화시키는 축소된 GPR 모델에 스킴을 적용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정렬 메쉬에서 통합 GPR 모델을 위한 셀 중심형 라그랑주 유한체적 스킴을 구성할 수 있는가? 이 스킴은 GCL을 유지하고, 통합 GPR 모델에 대해 점진적으로 유지되는가?
• RQ2 강성 있는 회복 소스 항이 존재하는 초호기 PDE 시스템의 라그랑주 프레임워크에서 공간 및 시간에서 2차 정밀도를 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ3 동일한 수치 스킴이 단일 통합 모델 내에서 이상 기체에서부터 탄성-플라스틱 고체에 이르기까지 전체 물성 반응 스펙트럼을 정확하게 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ4 반명시적 ODE 해석기는 강성 있는 회복 한계에서 스킴을 안정화시키는 데 어떤 역할을 하는가? 또한 나비에-스토크스-푸리에 방정식과의 일致성을 어떻게 보장하는가?
• RQ5 강한 변형과 물성 전이를 수반하는 복잡한 다차원 시험 케이스에서 에너지 보존성과 안정성 측면에서 스킴의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• LGPR 스킴은 제조된 해와 정확한 리만 문제에 대한 수렴 연구를 통해 공간 및 시간에서 2차 정밀도를 확보하였다.
• 스킴은 점진적으로 유지된다: 매우 작은 회복 시간에서도 나비에-스토크스-푸리에 한계를 정확히 포착하며, 수치적 해가 기대되는 점성, 열전도성 유체 거동으로 수렴함을 보였다.
• 기계적 정밀도 수준에서 총 에너지를 보존한다. 특히 ω₀ = 100 및 ω₀ = 200 조건에서 비틀림 기둥 시험 케이스에서 시간이 지남에 따라 에너지 보존이 유지됨을 입증하였다.
• Kovalskii 시험에서 탄성에서 탄성-플라스틱 거동로의 전이가 정확하게 시뮬레이션되었으며, 수치 결과가 플라스틱 파동 속도와 응력 진화에 대한 해석적 해와 매우 유사하였다.
• 강한 압축과 회전 조건에서도 비물리적 진동이나 비물리적 압력 분포 없이 복잡한 3차원 현상—비틀림 기둥—을 성공적으로 모델링하였다.
• 극한 경우에 기존 방법으로 축소된다: 이상 기체 한계에서는 [83]의 유체역학 스킴을 회복하고, 탄성 한계에서는 [27]의 초탄성 스킴을 회복한다.