[논문 리뷰] A central limit theorem for the annealed path measures for the stochastic heat equation and the continuous directed polymer in $d\geq 3$

Chiranjib Mukherjee|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 28.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 $d \geq 3$ 차원에서의 스토하스틱 히트 방정정식과 연속적인 도자이드 폴리머와 관련된 안네일링드 경로 측도에 대해 중심극한정리를 수립한다. 장거리 시간 상관과 특이한 공간 상호작용을 가진 무한차원 길버스 측도의 존재성과 유일성을 보장하는 통합된 프레임워크를 개발하며, 명시적이고 영이 아닌 양의 분산을 가진 비퇴화된 가우시안 극한으로 수렴함을 보여준다.

ABSTRACT

We consider a class of Gibbs measures defined with respect to increments of $d$-dimensional Wiener measure. The underlying Hamiltonian is defined by interactions that are invariant under uniform translations of paths, and include {\it{long-range}} dependence in the time variable and {\it{unbounded (singular)}} interactions attached to the space variables, for which perturbative techniques from one-dimensional spin systems do not apply. To handle such class of interactions we develop a unified approach to prove existence and uniqueness of the infinite dimensional Gibbs measures and show validity of a central limit theorem for the rescaled process of increments under the Gibbs measure and obtain an explicit expression for the limiting variance which is strictly positive. As particular models of interest in quantum mechanics, our results cover the Nelson model and the polaron problem with ultraviolet cut off, both carrying bounded spatial interaction with long-range (power law) decay in time, as well as the Frohlich polaron which is singular in space with a short range interaction in time. As a further application, we study the solution of the multiplicative-noise stochastic heat equation in spatial dimensions $d\geq 3$. When the noise is mollified both in time and space, we show that the averages of the diffusively rescaled solutions converge pointwise to the solution of a diffusion equation whose coefficients are homogenized in this limit.

연구 동기 및 목표

• 장거리 시간 상관과 유계가 아닌 공간 상호작용을 가진 경로 측도의 무한차원 길버스 측도의 존재성과 유일성을 수립하기.
• 길버스 측도 하에서 스케일링된 증분 과정의 척도 극한을 분석하고 가우시안 분포로의 수렴을 증명하기.
• 중심극한정리에서의 극한 분산에 대해 명시적이고 영이 아닌 양의 표현을 제공하기.
• 이 프레임워크를 초월한 자외선 절단이 있는 넬슨 모델과 프로플리히 폴라론과 같은 양자역학적 모델에 적용하기.
• 3차원 이상에서의 매끄러운 소음이 가미된 곱셈형 소음 스토하스틱 히트 방정정식의 동질화 문제를 연구하기.

제안 방법

• 이동 불변 해밀토니안을 가진 $d$차원 브라운 운동의 증분을 이용해 길버스 측도의 형식적 정의를 내리기.
• 퍼트리부티브 방법을 초월하여 장거리 시간 의존성과 특이한 공간 상호작용을 다룰 수 있는 새로운 분석적 프레임워크 도입하기.
• 함수해석 기법을 적용하여 무한차원 길버스 측도의 존재성과 유일성을 증명하기.
• 경로 증분에 대한 스케일링 절차를 적용하고 渐近 분석을 통해 극한 분산을 유도하기.
• 매끄러운 소음을 가진 스토하스틱 히트 방정정식의 해를 분석하기 위해 길버스 측도 프레임워크를 활용하기.
• 확산 스케일링 하에서의 해가 효과 계수를 가진 동질화된 확산 방정정식의 해로 점근적으로 수렴함을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 장거리 시간 상관과 특이한 공간 상호작용을 가진 경로 측도에 대해 $d \geq 3$ 에서 중심극한정리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 안네일링드 길버스 측도 하에서 스케일링된 증분 과정의 극한 분산은 무엇이며, 이는 영이 아닌가?
• RQ3 결과는 초월한 자외선 절단이 있는 넬슨 모델과 프로플리히 폴라론과 같은 양자역학적 모델에 어떻게 적용되는가?
• RQ4 매끄러운 소음이 가미된 스토하스틱 히트 방정정식의 해는 확산 스케일링 극한에서 동질화된 확산 방정정식으로 수렴하는가?
• RQ5 비퍼트리부티브이고 특이한 상호작용을 고려할 수 있는 고차원 경로 측도에 대해 통합된 프레임워크를 개발할 수 있는가?

주요 결과

• 장거리 및 특이 상호작용을 가진 해밀토니안의 지정된 클래스에 대해 무한차원 길버스 측도가 존재하고 유일하다.
• 길버스 측도 하에서 스케일링된 증분 과정은 명시적이고 영이 아닌 양의 극한 분산을 가진 중심극한정리를 만족한다.
• 극한 분산에 대한 명시적 표현이 도출되었으며, 이는 양의 값을 가지며 비퇴화된 가우시안 변동을 확인한다.
• 이 프레임워크는 자외선 절단이 있는 넬슨 모델과 프로플리히 폴라론에 적용 가능하며, 유계 및 특이한 공간 상호작용을 모두 다룰 수 있다.
• 3차원 이상에서의 매끄러운 소음이 가미된 스토하스틱 히트 방정정식에 대해, 확산 스케일링된 해는 점별로 동질화된 확산 방정정식의 해로 수렴한다.
• 동질화 극한에서의 효과 계수는 잘 정의되어 있으며, 원래의 소음 구조의 평균화로부터 유도된다.