[논문 리뷰] A central limit theorem for the sample autocorrelations of a Lévy driven continuous time moving average process

Serge Cohen, Alexander Lindner|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 14.

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한 줄 요약

이 논문은 레비 기반 연속시간 이동평균 과정의 표본 자기상관에 대해 중심극한정리(Central Limit Theorem)를 수립하며, 이는 이산시간 모델에서 존재하지 않는 분산 보정 항이 포함된 점근 정규성을 보여준다. 주요 기여는 점근 정규성의 분산에 레비 과정의 네 번째 모멘트에 의존하는 추가 항이 포함되어 있음을 밝혀내어, 단순한 이산시간 근사가 잘못되었음을 입증하고, 분수 레비 과정에서 허스트 지수의 점근 정규 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this article we consider Lévy driven continuous time moving average processes observed on a lattice, which are stationary time series. We show asymptotic normality of the sample mean, the sample autocovariances and the sample autocorrelations. A comparison with the classical setting of discrete moving average time series shows that in the last case a correction term should be added to the classical Bartlett formula that yields the asymptotic variance. An application to the asymptotic normality of the estimator of the Hurst exponent of fractional Lévy processes is also deduced from these results.

연구 동기 및 목표

• 레비 기반 연속시간 이동평균 과정의 표본 평균, 자기공분산, 자기상관계수의 점근 정규성을 수립하기.
• 표본 자기상관계수의 점근 분산에서 연속시간 모델과 이산시간 모델 간의 격차를 규명하기.
• 연속시간 과정에 대해 네 번째 모멘트 보정 항을 포함한 바틀렛 공식의 보정된 형태를 유도하기.
• 결과를 분수 레비 과정의 허스트 지수 추정기의 점근 정규성에 적용하기.
• 표본화된 과정 $(X_{n riangle})_{n\in\mathbb{Z}}$ 가 일반적으로 i.i.d. 노이즈를 가진 이산시간 이동평균 과정으로 간주될 수 없다는 것을 보여주기.

제안 방법

• 레비 과정 $L$이 0 평균, 유한 분산을 가지며 $f \in L^2(\mathbb{R})$ 이면, 과정을 $X_t = \mu + \int_{\mathbb{R}} f(t-s) \, dL_s$ 로 모델링하기.
• 표본 평균 $\overline{X}_{n;\Delta}$, 표본 자기공분산 $\widehat{\gamma}_{n;\Delta}(\Delta h)$, 표본 자기상관계수 $\widehat{\rho}_{n;\Delta}(\Delta h)$ 의 점근 분포를 $n \to \infty$ 일 때 분석하기.
• 스펙트럼 표현과 함수적 중심극한정리 기법을 사용하여, 레비 과정의 네 번째 모멘트를 포함한 점근 분산을 유도하기.
• 표본 자기상관계수 $\sqrt{n}(\widehat{\rho}_{n;\Delta}(\Delta h) - \rho(h))$ 가 보정된 분산 공식을 가진 정규분포로 수렴하는 조건을 확립하기.
• 분수 레비 과정에 결과를 적용하기 위해 커널 $f_d(s) = (s_+)^d - (s_-)^d$ 를 분석하고, 적분 가능성 및 모멘트 조건을 확인하기.
• 증분 과정 $Z_t = X_t - X_{t-1}$ 의 경험적 자기상관계수를 사용하여 허스트 지수 $d$ 의 일致하고 점근 정규적인 추정기 구축하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레비 기반 연속시간 이동평균 과정의 표본 자기상관계수는 중심극한정리를 만족하는가?
• RQ2 표본 자기상관계수의 점근 분산은 이산시간 모델의 고전적 바틀렛 공식과 어떻게 다를까?
• RQ3 운동하는 레비 과정의 네 번째 모멘트는 표본 자기상관계수의 점근 분포에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 분수 레비 과정의 허스트 지수는 이산 시간 샘플링으로부터 일致하고 점근 정규적으로 추정될 수 있는가?
• RQ5 표본화된 과정 $X_{n\Delta}$ 는 점근 분포적 성질 측면에서 i.i.d. 노이즈를 가진 이산시간 이동평균 과정과 동일한가?

주요 결과

• 연속시간 과정의 표본 자기상관계수는 점근적으로 정규분포를 따르지만, 그 점근 분산에는 이산시간 모델에 존재하지 않는 레비 과정의 네 번째 중심모멘트 비례 항이 추가되어 있다.
• 이 보정 항은 표본화된 연속시간 과정를 i.i.d. 노이즈를 가진 이산시간 이동평균 과정으로 단순히 간주할 수 있다는 낙관적 가정을 무효화한다.
• 모수 $d < 1/4$ 일 때, 표본 자기상관계수를 통한 추정기 $\widehat{d}$ 는 점근적으로 정규분포를 따르며, $\sqrt{n}(\widehat{d} - d) \to N(0, \sigma^2)$ 를 만족한다.
• 모수 $d \in (0, 1/2)$ 일 때, 증분 과정 $Z_t = X_t - X_{t-1}$ 를 기반으로 한 추정기 $\tilde{d} = \phi^{-1}(\rho_n^*(1))$ 역시 점근적으로 정규분포를 따른다.
• 커널 함수 $f_d(s)$ 와 그 차분 $\tilde{f}_d(s)$ 는 $L^2(\mathbb{R}) \cap L^4(\mathbb{R})$ 에 속하여 중심극한정리의 타당성을 보장한다.
• 점근 분산 공식에 나타나는 함수 $g_0(u)$ 는 유계이면서 $L^2([0,1])$ 에 속하므로, 기능적 중심극한정리의 적용 가능성을 확인한다.