[논문 리뷰] A change of variable formula with applications to multi-dimensional optimal stopping problems

Cheng Cai, Tiziano De Angelis|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 34인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $C^1$ 함수 $U: \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ 에 대해 단조성 경계면 $b$ 근처에서 두 번째 도함수가 폭발할 수 있는 경우에도 적용 가능한 새로운 변수변환 공식을 제안한다. 이는 국소시간 또는 이차 상관관계를 요구하지 않는 다차원 최적 정지 문제에의 응용을 가능하게 하며, 고전적 이토의 공식과 형식적으로 일치하는 공식을 제공함으로써 암시적 옵션 가격 정책 및 자유경계 문제에 매우 유용하다. 핵심 기여는 가치 함수와 경계의 정규성 조건을 완화하면서도 고전적 이토의 공식과 유사한 형태를 유지하는 것이다.

ABSTRACT

We derive a change of variable formula for $C^1$ functions $U:\R_+ imes\R^m o\R$ whose second order spatial derivatives may explode and not be integrable in the neighbourhood of a surface $b:\R_+ imes\R^{m-1} o \R$ that splits the state space into two sets $\cC$ and $\cD$. The formula is tailored for applications in problems of optimal stopping where it is generally very hard to control the second order derivatives of the value function near the optimal stopping boundary. Differently to other existing papers on similar topics we only require that the surface $b$ be monotonic in each variable and we formally obtain the same expression as the classical Itô's formula.

연구 동기 및 목표

• 값 함수의 두 번째 도함수가 최적 정지 경계 근처에서 특이성이 있을 수 있는 다차원 최적 정지 문제에 적용 가능한 변수변환 공식을 개발하는 것.
• 높은 차원에서 기술적으로 번거로운 국소시간 또는 과정과 기울기 간의 이차 상관관계에 의존하지 않는 것.
• 값 함수의 두 번째 도함수와 경계면에 대한 정규성 조건을 완화하여 각 변수에 대해 단조성만 요구하는 것.
• 고전적 이토의 공식과 형식적으로 동일한 도구를 제공하여 금융 및 확률적 제어 응용에서의 사용 용이성을 높이는 것.
• 기존 방법에서 경계 조합 과정의 반마르팅게일 성질을 확인하는 데 실용적으로 어려운 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 값 함수 $U$ 가 $C^1$ 이고 경계면 $b$ 근처에서 두 번째 도함수가 적분 가능하지 않을 수 있는 경우 $U(t, X_t)$ 에 대한 변수변환 공식을 유도하는 것.
• 경계 $b$ 가 각 공간 변수에 대해 단조성이 있음을 가정하여 자유경계 근처에서 값 함수의 행동을 제어할 수 있도록 하는 것.
• 부드러운 근사함수 $\varphi_n$ 를 이용한 변형 기법을 통해 비연속성에 대응하고, 그로 인해 그론발의 부등식을 활용하는 것.
• 근사 과정에 대해 이토의 공식을 적용하고, 기울기의 모듈러스 연속성 및 함수 $h$ 의 조건을 이용해 극한으로 넘어가는 것.
• 시간에 의존하는 비율과 분산 계수를 갖는 SDE를 통해 경로별 비교를 수립하고, 리프시츠 및 허더 조건을 만족하는 조건을 갖는 것.
• 유계 변동성 비율과 확률적 적분을 갖는 SDE에 대한 비교 정리를 활용하여, 단조성과 초기 조건 순서 조건 하에서 해의 경로별 지배성을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다차원 확산 과정에서 자유경계 근처에서 두 번째 도함수가 적분 가능하지 않은 $C^1$ 함수에 대해 변수변환 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 국소시간 또는 이차 상관관계 항을 포함하지 않고도 고전적 이토의 공식과 유사한 공식을 유지할 수 있는가?
• RQ3 최적 정지 경계의 단조성이 어떻게 값 함수와 그 도함수의 행동을 제어하는 데 활용될 수 있는가?
• RQ4 경계의 명시적 지식이나 값 함수의 정규성 조건 없이도 공식을 다자산 암시적 옵션 및 기타 최적 정지 문제에 적용할 수 있는가?
• RQ5 최소한의 정규성 조건 하에서 비연속적이거나 특이한 기울기 항을 갖는 SDE에 대해 경로별 비교 결과를 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 두 번째 도함수가 경계 근처에서 적분 가능하지 않더라도 고전적 이토의 공식과 형식적으로 일치하는 변수변환 공식을 확립한다.
• 이 공식은 최소한의 가정 하에서 유효하다: $U$ 는 $C^1$ 이며 경계 $b$ 는 각 변수에 대해 단조성만 요구되며, 경계 조합 과정의 미분 가능성이나 반마르팅게일 성질은 필요로 하지 않는다.
• 국소시간과 이차 상관관계를 피하기 위해 부드러운 근사함수 $\varphi_n$ 의 수열과 그론발의 부등식을 활용하여 극한을 제어하는 방법을 사용한다.
• 시간에 의존하는 계수를 갖는 SDE에 대한 비교 정리가 증명되었으며, $\eta^1 \leq \eta^2$ 이고 $Y^1_0 \leq Y^2_0$ 이면 $Y^1_t \leq Y^2_t$ 가 거의 확실히 성립함을 보였다. 이는 온건한 연속성 및 성장 조건 하에서 성립한다.
• 결과는 기존 방법이 적용 불가능하거나 과도하게 복잡한 수학적 금융 분야의 넓은 범위의 최적 정지 문제에 적용 가능함을 보였다.
• 이 틀을 통해 경계의 명시적 지식이나 가치 함수의 정규성 조건 없이도 다자산 암시적 옵션의 최적 정지 경계에 대한 적분 방정식과 헤지 포트폴리오의 동역학을 유도할 수 있다.