[논문 리뷰] A Characterization for Decidable Separability by Piecewise Testable Languages

Czerwiński, Wojciech, Wim Martens외 3명|LA Referencia (Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas)|2014. 10. 04.

semigroups and automata theory인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 주어진 언어 클래스 𝒞에 대해 조각별로 테스트 가능한 언어(PTL)에 의한 분리 가능성(decidability)이 언제 가능한지를 특성화한다. 이는 비유한성 문제의 결정 가능성과 산산이 뿌려진 부분문자열 순서에 대한 하향 폐쇄의 효과적 정규성으로 귀결됨을 보여준다. 핵심 결과는 문맥 자유 언어 및 벡터 추가 시스템과 같은 클래스들에 대해 PTL 분리 가능성의 결정 가능성을 보장하는 일반 조건을 제시하는 것으로, 이러한 클래스 내에서 PTL 소속성의 결정 불가능성에도 불구하고 성립한다.

ABSTRACT

The separability problem for word languages of a class $\mathcal{C}$ by languages of a class $\mathcal{S}$ asks, for two given languages $I$ and $E$ from $\mathcal{C}$, whether there exists a language $S$ from $\mathcal{S}$ that includes $I$ and excludes $E$, that is, $I \subseteq S$ and $S\cap E = \emptyset$. In this work, we assume some mild closure properties for $\mathcal{C}$ and study for which such classes separability by a piecewise testable language (PTL) is decidable. We characterize these classes in terms of decidability of (two variants of) an unboundedness problem. From this, we deduce that separability by PTL is decidable for a number of language classes, such as the context-free languages and languages of labeled vector addition systems. Furthermore, it follows that separability by PTL is decidable if and only if one can compute for any language of the class its downward closure wrt. the scattered substring ordering (i.e., if the set of scattered substrings of any language of the class is effectively regular). The obtained decidability results contrast some undecidability results. In fact, for all (non-regular) language classes that we present as examples with decidable separability, it is undecidable whether a given language is a PTL itself. Our characterization involves a result of independent interest, which states that for any kind of languages $I$ and $E$, non-separability by PTL is equivalent to the existence of common patterns in $I$ and $E$.

연구 동기 및 목표

• 언어 클래스 𝒞에 대해 조각별로 테스트 가능한 언어(PTL)에 의한 분리 문제의 결정 가능성이 언제 가능한지를 규명하는 것.
• PTL 분리 가능성의 결정 가능성을 보장하는 𝒞에 대한 충분하고 필수 조건을, 약간의 폐쇄 가정 하에 규명하는 것.
• PTL 분리 가능성과 산산이 뿌려진 부분문자열 순서에 대한 하향 폐쇄의 효과적 정규성 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 다양한 자연 언어 클래스에서 PTL 소속성의 결정 불가능성과 대비하여, PTL 분리 가능성의 결정 가능성을 대비하는 것.
• 비정규 클래스, 예를 들어 문맥 자유 언어 및 벡터 추가 시스템 언어와 같은 클래스에 적용 가능한 일반적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• PTL 분리 문제를 𝒞 내 언어의 구조와 관련된 비유한성 문제의 결정 가능성으로 환원한다.
• PTL 분리 가능성의 결정 가능성을 특성화하는 두 가지 변형된 비유한성 문제를 도입하고 분석한다.
• 언어 I와 E에 대한 PTL에 의한 분리 불가능성은 이 두 언어에 공통 패턴이 존재함과 동치임을 규명한다.
• 언어 교차의 관련 효과적 구성 가능성을 보장하기 위해 𝒞의 폐쇄 성질(예: 보수, 교차, 호모모르피즘에 의한 폐쇄)을 활용한다.
• PTL가 A*a1A*...A*anA* 형태의 언어들의 유한 부울 조합임을 고려하여 기호의 순서와 포함 여부에 초점을 맞춘다.
• 산산이 뿌려진 부분문자열 순서에 대한 하향 폐쇄 개념과 같은 형식 언어 이론의 결과를 활용하여 효과적 정규성 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 언어 클래스 𝒞에 대해 두 언어 I와 E를 조각별로 테스트 가능한 언어로 분리하는 문제의 결정 가능성이 가능한가?
• RQ2 언어 클래스 𝒞의 어떤 구조적 성질이 산산이 뿌려진 부분문자열 순서에 대한 𝒞 내 모든 언어의 하향 폐쇄가 효과적으로 정규가 되도록 보장하는가?
• RQ3 두 언어 I와 E에 공통 패턴이 존재함이 이들의 PTL에 의한 분리 불가능성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 문맥 자유 언어에서 PTL 소속성의 결정 불가능성에도 불구하고, 왜 PTL 분리 가능성은 결정 가능한가?
• RQ5 PTL 분리 가능성의 특성화는 정규 언어 또는 PTL의 부분클래스와 같은 다른 분리자 클래스로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 언어 클래스 𝒞에 대해 PTL 분리 가능성의 결정 가능성은 𝒞 내 언어의 구조와 관련된 특정 비유한성 문제의 결정 가능성과 동치이다.
• 보수 및 호모모르피즘에 대해 닫혀 있는 임의의 언어 클래스 𝒞에 대해, PTL 분리 가능성은 정확히 그 클래스 내 모든 언어가 산산이 뿌려진 부분문자열 순서에 대해 하향 폐쇄가 효과적으로 정규일 때에만 결정 가능하다.
• 문맥 자유 언어 및 레이블이 부여된 벡터 추가 시스템 언어에 대해 PTL 분리 가능성은 결정 가능함을 보여주며, 이는 주어진 문맥 자유 언어가 실제로 PTL인지 판별하는 것이 결정 불가능한 데도 불구하고 성립한다.
• PTL에 의한 분리 불가능성은 두 언어 I와 E에 공통 패턴이 존재함과 동치이며, 이는 분리 불가능성의 구조적 특성화를 제공한다.
• 논문은 다른 분리자 클래스로의 확장을 고려할 수 있는 일반적 프레임워크를 수립하였으며, 교차 공집합 문제에 기반한 정규 분리 가능성에 대한 잠재적 특성화를 시사한다.
• 결과적으로 일반적인 공집합 및 소속 문제의 결정 불가능성과 대비하여, 소속 클래스 내에서의 소속이 결정 불가능하더라도 분리 가능성은 결정 가능할 수 있음을 보여준다.