[논문 리뷰] A characterization of martingale-equivalent compound mixed Poisson process

Demetrios P. Lyberopoulos, N. D. Macheras|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 18.

Probability and Risk Models참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복합 혼합 푸아송 과정(CMPP)이 $ P $ 하에서 정의된 경우, 그 성질을 향상시키며 여전히 CMPP로 유지되는 점진적 등가 확률측도 $ Q $ 를 전부 기술한다. 이는 Delbaen & Haezendonck(1989)의 결과를 일반화한 것이다. 핵심 결과인 정리 4.3은 정규 조건부 확률과 라돈-니코딤 미분을 통해 기술하며, 보험 정가 산정 및 위험 감소를 동반하는 무무역기회 없음(NFLVR) 시장에의 적용 가능성을 제공한다.

ABSTRACT

If a given aggregate process $S$ is a compound mixed Poisson process under a probability measure $P$, a characterization of all probability measures $Q$ on the domain of $P$, such that $P$ and $Q$ are progressively equivalent and $S$ remains a compound mixed Poisson process with improved properties, is provided. This result generalizes earlier work of Delbaen & Haezendonck (1989). Implications related to the computation of premium calculation principles in an insurance market possessing the property of no free lunch with vanishing risk are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 복합 푸아송 과정에 대한 Delbaen & Haezendonck(1989)의 마팅게일 등가 측도 기술을 더 넓은 범주인 복합 혼합 푸아송 과정(CMPP)으로 일반화하기.
• 정규 조건부 확률을 사용하여, 확률측도 $ P $ 하에서의 CMPP가 점진적 등가 측도 $ Q $ 하에서도 여전히 CMPP로 유지되는 조건을 설정하기.
• 무무역기회 없음과 함께 위험 감소(NFLVR) 조건을 만족하는 보험 시장에서 정가 산정 원리 계산을 위한 프레임워크 제공하기.
• 무작위 강도와 청구 금액 분포를 포함하는 비전통적 리스크 이론 설정에 마팅게일 등가 측도 이론의 적용 범위 확장하기.

제안 방법

• 정규 조건부 확률을 사용하여 CMPP를 기술하고, 분해 측도 하에서 일반 복합 푸아송 과정으로 환원한다.
• 측도 $ Q $ 와 $ P $ 사이의 라돈-니코딤 미분을 유도하여 점진적 등가 측도를 구성한다.
• 정리 3.4를 적용하여, $ Q $-마팅게일의 밀도 과정을 기초가 되는 CMPP의 구조로 기술한다.
• 정리 4.3을 사용하여 점진적 등가 조건 하에서 CMPP 성질을 유지하는 모든 측도 $ Q $ 를 식별한다.
• 결과를 적용하여 점진적 등가 마팅게일 측도(PEMM)를 유도하는 광범위한 표준 확률과정의 클래스를 구성한다.
• 정리 5.3을 통해 NFLVR 조건을 확립하여, 구성된 시장 모델에서 무위험 기회가 존재하지 않음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률측도 $ P $ 하에서의 복합 혼합 푸아송 과정이 점진적 등가 측도 $ Q $ 하에서도 여전히 CMPP로 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 CMPP의 정규 조건부 확률로 표현할 때, $ Q $ 와 $ P $ 사이의 라돈-니코딤 미분은 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ3 어떤 확률과정의 클래스가 CMPP의 구조를 유지하는 점진적 등가 마팅게일 측도를 유도하는가?
• RQ4 측도 변화가 CMPP 프레임워크 내에서 청구 횟수의 기대값과 청구 금액의 기대값에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ5 $ Q $ 하에서 CMPP 성질의 유지가 NFLVR 조건을 만족하는 시장에서 정가 산정 원리에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 정리 4.3은 $ P $-CMPP가 $ Q $ 하에서도 여전히 CMPP로 유지되는 모든 점진적 등가 측도 $ Q $ 를 완전히 기술하며, Delbaen & Haezendonck(1989)의 결과를 일반화한다.
• $ Q $ 와 $ P $ 사이의 라돈-니코딤 미분은 청구 횟수 및 청구 금액 과정의 정규 조건부 분포에 의해 완전히 결정된다.
• 예제 6.2에서 측도 변화는 청구 횟수의 기대값과 청구 금액의 기대값을 모두 증가시키며, $ p(Q) = 810 $ 이고 $ p(P) = 5 $ 이며, $ \theta > 1/2 $ 일 때 조건 (13)을 만족한다.
• 예제 6.3에서 $ \mathbb{E}_{Q_{\theta}}[X_1] = 2 $ 이고 $ \mathbb{E}_{Q}[N_1] = (c+1)^2 J(c) $ 이며, $ J(c) \in (0,\infty) $ 이므로 $ p(Q) < \infty $ 가 보장되며, 조건 (14)는 $ \theta $ 에 대한 이차 부등식 조건 하에서 성립한다.
• 과정 $ V_t(\varTheta) = S_t - 10t\varTheta^2 $ 는 정리 5.3에 따라 NFLVR 조건을 만족하여, 구성된 시장에서 무위험 기회가 존재하지 않음을 확인한다.
• 보조정리 4.6에서 구성된 쌍 $ (g, Q) $ 는 $ Q_{\theta} $ 가 적절한 복합 푸아송 과정임을 보장하며, $ \mathbb{E}_{Q_{\theta}}[N_1] = g(\theta) $ 이고 $ \mathbb{E}_{Q_{\theta}}[X_1] = 2 $ 이므로, $ Q $ 하에서의 CMPP 구조가 검증된다.