[논문 리뷰] A Chiang-type Lagrangian in CP2

Ana Cannas da Silva|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 06.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ\mathbb{P}^2$의 비표준 라그랑주 임베딩을 $SU(2)$-오빗으로 구성하여, 원형 작용에 의한 축소된 $ℝ\mathbb{P}^1$ 상의 큰 원의 일對일 전방위적 끌림으로서 나타내며, 이로써 라그랑주가 단조적이며 축소된 구조에서도 단조적임을 보인다. 주요 결과는 이 라그랑주가 최소 마스로프 지수 3을 가지며 비자명한 플로어 호모로지( Floer homology)를 지닌 치앙 유형의 예로써 성립함을 보여준다.

ABSTRACT

We analyse a simple Chiang-type lagrangian in CP2 which is topologically an RP2 but exhibits a distinguishing behaviour under reduction by one of the toric circle actions, in particular it is a one-to-one transverse lifting of a great circle in CP1.

연구 동기 및 목표

• 표현 이론과 $SU(2)$-작용을 통해 $ℝ\mathbb{P}^2$ 내 비표준 라그랑주 $ℝ\mathbb{P}^2$를 구성하기.
• 모멘트 맵 $μ_2$를 갖는 원형 작용을 통한 심플렉틱 축소에 의한 그 행동 분석하기.
• 이 라그랑주가 심플렉틱 축소된 $ℝ\mathbb{P}^1$ 상의 큰 원의 일對일 전방위적 끌림임을 보여주기.
• 그 단조성과 플로어 호모로지의 계산을 통해 이 라그랑주가 치앙 유형임을 확인하기.

제안 방법

• 점 $[1:0:1]$ 에서의 $SU(2)$-오빗으로서 라그랑주 $\mathcal{L}_2$ 를 정의하며, $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ 이고 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ 이다.
• 실수 좌표 $X = \Re(\alpha^2 + \beta^2)$, $Y = \Im(\alpha^2 + \beta^2)$, $Z = 2\Im(\bar{\alpha}\beta)$ 를 사용하여 $S^2 / \pm 1$ 을 통한 $\mathcal{L}_2 \simeq \mathbb{RP}^2$ 를 보여주기.
• $\mathcal{L}_2$ 가 $SU(2)$-작용 하에서 등방성임을 보이고, $\mu_2 = -1/6$ 에서의 수준집합에 놓여 있음을 확인함으로써 라그랑주임을 증명하기.
• $\mu_2^{-1}(-1/6)$ 와의 교차에서 두 번째 원형 작용에 대해 전방위성과 단사성을 증명하여, 이는 $ℝ\mathbb{CP}^1$ 으로의 일對일 끌림을 보장한다.
• 복소좌표 비교를 통해 $\mathcal{L}_2$ 상의 서로 다른 점들이 두 번째 원형 작용에 의해 연결될 수 없음을 보여 단사성을 확인하기.
• Biran과 Cornea, Li와 Wu의 결과를 적용하여 단조성과 모든 $k \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $HF_k(\mathcal{L}_2, \mathcal{L}_2) \simeq \mathbb{Z}_2$ 를 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비표준 $ℝ\mathbb{P}^2$ 라그랑주가 $SU(2)$-작용을 통해 $ℝ\mathbb{P}^2$ 내에 구성될 수 있고, 이가 단조적임을 보일 수 있는가?
• RQ2 이 라그랑주는 심플렉틱 축소 하에서 축소된 $ℝ\mathbb{CP}^1$ 상의 큰 원의 일對일 전방위적 끌림으로서 유도되는가?
• RQ3 이 라그랑주의 플로어 호모로지는 무엇이며, 치앙 유형의 불변량과 일치하는가?
• RQ4 복소수 켤레 작용 하에서 표준 $ℝ\mathbb{P}^2$ 와의 위상적 및 동역학적 비교는 어떻게 되는가?
• RQ5 축소된 라그랑주 $ℝ\mathbb{CP}^1$ 에서의 단조성은 어떠한가? 그리고 수준 $a = -1/6$ 의 선택이 이를 보장하는가?

주요 결과

• $\mathcal{L}_2$ 는 $\mathbb{RP}^2$ 와 미분동형이며, $ℝ\mathbb{CP}^2$ 내에서 점 $[1:0:1]$ 의 $SU(2)$-오빗으로서 유도되며, 안정자군은 $\mathbb{Z}_2 \times S^1$ 와 동형이다.
• $\mathcal{L}_2$ 는 표현 이론적 분석에 의해 $SU(2)$-작용 하에서 등방성임을 보이고, 따라서 푸비니-슈트라이크 심플렉틱 형식을 갖는 $ℝ\mathbb{CP}^2$ 내에서 라그랑주이다.
• $\mathcal{L}_2$ 와 수준집합 $\mu_2^{-1}(-1/6)$ 의 교차는 두 번째 원형 작용 하에서 전방위적이며 단사적이며, 이는 일對일 전방위적 끌림을 보장한다.
• $\pi$ 에 의한 $\mathcal{L}_2 \cap \mu_2^{-1}(-1/6)$ 의 상은 $ℝ\mathbb{CP}^1$ 상의 큰 원이며, 이는 수준 선택에 의해 단조성을 물려받는다.
• 축소된 라그랑주 $ℝ\ell_2 \subset \mathbb{CP}^1$ 는 큰 원이므로 단조적이며 총 면적은 $2\pi/3$ 이다.
• 원래의 라그랑주 $\mathcal{L}_2$ 는 최소 마스로프 지수 3을 가지며 단조적이며, 모든 $k \in \mathbb{Z}$ 에 대해 $HF_k(\mathcal{L}_2, \mathcal{L}_2) \simeq \mathbb{Z}_2$ 를 지닌다. 이는 그 치앙 유형의 성격을 확인한다.