[논문 리뷰] A Class of Distributions for Linear Demand Markets

Stefanos Leonardos, Costis Melolidakis|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 15.

Supply Chain and Inventory Management참고 문헌 47인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 선형 수요 시장에 대한 감소하는 일반화된 잔여 수요(Decreasing Generalized Mean Residual Demand, DGMRD) 분포의 클래스를 도입하며, 수요 분포가 DGMRD이고 두 번째 모멘트가 유한할 경우 최적 가격이 존재하고 유일함을 보여준다. 최적 가격이 평균 잔여 수요(Mean Residual Demand, MRD) 함수의 고정점과 대응됨을 입증하며, 이는 널리 사용되는 증가하는 일반화된 실패율(Increasing Generalized Failure Rate, IGFR) 성질을 이산적인 간격에 걸친 혼합을 允허하는 방식으로 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper, we study distributions that describe markets with linear stochastic demand. We express the price elasticity of expected demand in terms of the mean residual demand (MRD) function of the demand distribution and characterize optimal prices or equivalently, points of unitary elasticity, as fixed points of the MRD function. This leads to economic interpretable conditions on the demand distribution under which such fixed points exists and are unique. In particular, markets with increasing price elasticity of expected demand that eventually become elastic correspond to distributions with decreasing generalized mean residual demand (DGMRD) and finite second moment. DGMRD distributions strictly generalize the widely used increasing generalized failure rate (IGFR) distributions. In real life economic applications, they arise naturally as mixtures of (possibly) IGFR distributions over disjoint intervals. We further elaborate on the relationship of the two classes and link their limiting behavior at infinity. We examine moment and closure properties of the DGMRD distributions that are important in economic applications and illustrate our results with examples.

연구 동기 및 목표

• 이산적인 수요 간격을 가진 실제 경제 시나리오를 모델링하는 데 있어 IGFR 성질의 한계를 해결하기 위해.
• 선형 수요 시장에서 수익 함수가 단모양임을 보장하는 조건을 규명하여 유일한 최적 가격을 확보하기 위해.
• IGFR 성질을 이산 간격에 걸친 혼합을 포함하는 더 넓은 분포 클래스로 일반화하기 위해.
• 최적 가격의 존재성과 유일성을 보장하는 수요 분포에 대한 분석적 조건을 수립하기 위해.

제안 방법

• 선형 수요 D(p|α) = (α − p)+ 에 대해 판매자의 기대 수익 함수 R(p) = p·E[D(p|α)] 를 수립한다.
• 최적 가격의 일阶 조건을 p = −E[D(p|α)] / d/dp E[D(p|α)] 로 표현하며, 이를 기대 수요의 가격 가소성과 연결한다.
• 평균 잔여 수요(Mean Residual Demand, MRD) 함수 m(p) = E[(α − p)+ | α > p] / P(α > p) 를 정의하여, 가격 p를 초과하는 잔여 수요의 기대값을 특성화한다.
• 최적 가격이 평균 잔여 수요(MRD) 함수의 고정점과 정확히 일치함을 보이며, 즉 p = m(p) 의 해임을 입증한다.
• 지원 전역에서 일반화된 평균 잔여 수요가 감소하는 성질을 가진 DGMRD 성질을 도입하여 IGFR를 일반화한다.
• 특히 이산 간격에 걸친 분포 혼합에 대해 DGMRD 분포의 모멘트 및 닫힘 성질을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 스토케스틱 수요 시장에서 수요 분포에 어떤 조건이 성립할 경우 유일한 최적 가격이 존재하는가?
• RQ2 DGMRD 성질은 널리 사용되는 IGFR 성질과 어떤 관계가 있으며, 어떻게 이를 일반화하는가?
• RQ3 이산 간격에 걸쳐 IGFR 또는 DGMRD 분포의 혼합이 여전히 DGMRD 조건을 만족하는가?
• RQ4 DGMRD 분포의 모멘트 및 닫힘 성질은 무엇이며, 특히 혼합 연산에 대해 어떻게 작용하는가?
• RQ5 MRD 함수의 형태가 단위 가격 가소성 지점의 위치와 유일성을 어떻게 결정하는가?

주요 결과

• 수요 분포가 DGMRD 이고 두 번째 모멘트가 유한할 경우 선형 수요 시장에서 최적 가격이 존재하고 유일하다.
• 최적 가격은 정확히 평균 잔여 수요(Mean Residual Demand, MRD) 함수의 고정점과 대응되며, 즉 p = m(p) 의 해이다.
• DGMRD 클래스는 IGFR 클래스를 엄밀히 일반화하며, 이산 간격에 걸친 분포 혼합을 포함할 수 있어 IGFR가 다루지 못하는 경우를 포함한다.
• DGMRD 분포는 경제적 응용에서 자연스럽게 이산 간격에 걸친 (가능한 경우 IGFR인) 분포의 혼합으로 나타나며, 시나리오 기반 모델링을 가능하게 한다.
• MRD 함수는 수익 함수의 가격 가소성 곡선을 완전히 결정하며, 그 형태가 수익 함수의 단모양성을 좌우한다.
• DGMRD 조건은 IGFR보다 기술적으로 더 복잡하지만, 비연결된 지지 집합을 포함하는 더 rich한 수요 구조를 모델링할 수 있도록 한다.