[논문 리뷰] A Class of Generalized Mixed Variational-Hemivariational Inequalities I: Existence and Uniqueness Results

Yunru Bai, Stanisław Migórski외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 15.

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한 줄 요약

이 논문은 반사적 바나흐 공간에서 새로운 종류의 일반화된 혼합 변분-반변분부등식(MVHVI)에 대해 존재성, 유일성, 연속성 결과를 확립한다. 팬-크나스터-쿠라토프스키-마주르키에비치 원리와 비미끄러운 분석, 민티 기법을 조합하여 컴팩트성 가정 없이 존재성을 증명하고, 레이드제브스카야-바부쉬카-브레즈지(LBB) 조건 하에서 해의 첫 번째 성분이 유일하게 결정됨을 보이며, 강도 조건 하에서 해 연산자에 대한 호일더 연속성도 입증한다.

ABSTRACT

We investigate a generalized Lagrange multiplier system in a Banach space, called a mixed variational-hemivariational inequality (MVHVI, for short), which contains a hemivariational inequality and a variational inequality. First, we employ the Minty technique and a monotonicity argument to establish an equivalence theorem, which provides three different equivalent formulations of the inequality problem. Without compactness for one of operators in the problem, a general existence theorem for (MVHVI) is proved by using the Fan-Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz principle combined with methods of nonsmooth analysis. Furthermore, we demonstrate several crucial properties of the solution set to (MVHVI) which include boundedness, convexity, weak closedness, and continuity. Finally, a uniqueness result with respect to the first component of the solution for the inequality problem is proved by using the Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi (LBB) condition. All results are obtained in a general functional framework in reflexive Banach spaces.

연구 동기 및 목표

• 반사적 바나흐 공간에서 새로운 종류의 추상적 혼합 변분-반변분부등식(MVHVI)을 위한 일반적인 기능적 프레임워크를 개발한다.
• 컴팩트성 가정이 없는 조건 하에서 MVHVI의 해 존재성을 증명하기 위해 팬-크나스터-쿠라토프스키-마주르키에비치 원리와 비미끄러운 분석을 활용한다.
• 레이드제브스카야-바부쉬카-브레즈지(LBB) 조건 하에서 해의 첫 번째 성분의 유일성을 증명한다.
• 해 집합의 구조적 성질, 즉 유계성, 볼록성, 약한 닫힘성, 연속성 등을 분석한다.

제안 방법

• 민티 기법을 활용하여 MVHVI 문제의 세 가지 동치 표현을 도출한다.
• 팬-크나스터-쿠라토프스키-마주르키에비치 원리를 사용하여 일반적인 단조성 및 연속성 조건 하에서 해 존재성을 증명한다.
• 비미끄러운 분석 도구, 특히 일반화된 방향 도함수 $ J^0 $ 를 활용하여 반변분부등식 성분을 다룬다.
• 해의 안정성을 확보하기 위해 연산자 $ A + \gamma^*\partial J(\gamma\cdot) $ 에 대한 완화된 단조성 조건을 도입한다.
• 레이드제브스카야-바부쉬카-브레즈지(LBB) 조건을 활용하여 해의 첫 번째 성분의 유일성을 확립한다.
• 강도 조건 $ h(u) \geq c_h \|u\|^q $ 하에서 해 연산자 $ \mathcal{S}_1 $ 에 대한 호일더 유형의 연속성 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 일반적 조건 하에서 반사적 바나흐 공간에서 일반화된 혼합 변분-반변분부등식이 적어도 하나의 해를 갖는가?
• RQ2 문제에 등장하는 어떤 연산자에 대해서도 컴팩트성 가정 없이도 해 존재성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 해의 첫 번째 성분은 유일하게 결정되는가? 이러한 유일성은 어떤 조건 하에서 성립하는가?
• RQ4 해 집합은 어떤 구조적 성질(유계성, 볼록성, 약한 닫힘성)을 갖는가?
• RQ5 외부 힘 $ f $ 와 같은 자료에 대해 해 연산자 $ \mathcal{S}_1 $ 에서의 해는 어떻게 연속적으로 의존하는가?

주요 결과

• 표준 가정 하에서 MVHVI의 해 집합 $ S(A,J,b,f) $ 는 $ V \times \Lambda $ 에서 비어 있지 않고, 유계성, 볼록성, 약한 닫힘성을 갖는다.
• 다중값 함수 해 연산자 $ \mathcal{S}: V^* \to 2^{V \times \Lambda} $ 는 유계성과 강한-약한 상부준연속성을 갖는다.
• LBB 조건 하에서 각 $ f \in V^* $ 에 대해 해의 첫 번째 성분 $ \mathcal{S}_1(f) $ 는 유일하게 결정된다.
• 강도 조건 $ h(u) \geq c_h \|u\|^q $ 하에서 해 연산자 $ \mathcal{S}_1 $ 는 호일더 유형 추정식 $ \|\mathcal{S}_1(f_1) - \mathcal{S}_1(f_2)\|_V \leq c_h^{1/(q-1)} \|f_1 - f_2\|_{V^*}^{1/(q-1)} $ 을 만족한다. ($ q > 1 $)
• 해 매핑 $ \mathcal{S}_1 $ 은 $ V^* $ 의 노름 위상에서 $ V $ 의 약한 위상으로의 연속성을 보이며, 자료의 변화에 대해 안정성을 확보한다.
• 민티 기법을 통해 MVHVI의 세 가지 표현 간의 동치성이 입증되어 통합된 분석적 프레임워크를 제공한다.