[논문 리뷰] A class of integration by parts formulae in stochastic analysis I

K. D. Elworthy, Xue-Mei Li|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 21.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 15인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 밀도가 있는 확률적 흐름과 도함수 과정을 사용하여 컴act 리만다이언만드의 경로 공간 위에서 적분 by parts 공식의 일족을 수립한다. Elworthy와 Li(1994)의 기본 공식을 확장하여, 캄브리지-마틴 공간에 따라 조정된 과정을 따라 임의의 원통형 기능에 대한 도함수를 포함하는 일반적인 적분 by parts 항등식을 도출하며, 리치 곡률과 접속 기하학을 통해 내재된 공식을 이끌어내며, 자유 경로 공간과 측도의 준불변성 성질에의 적용을 포함한다.

ABSTRACT

An integration by parts formula is the foundation for stochastic analysis on path spaces over a (finite dimensional) Riemannian manifold or over $R^n$, from which we may deduce the operator $d$ is closable and define the Laplacian operator on path spaces. A useful formula on the Riemannian manifold is $$dP_tf(v)=(1/t)E f(x_t) \int_0^t \langle d\{x_s\}, v_s angle ,$$ for $P_t$ the heat semi-group, $x_t$ the BM, $v_t$ the derivative flow or its conditional expectation (which is a damped parallel translation), $d\{x_s\}$ is the martingale part of $x_t$. As a meta theorem, this leads to the Clark-Ocone formula (martingale representation theorem with specific integrand) and Logrithmic Sobolev inequalities. Interpreted appropriately, the latter formula is obviously a special case of the integration by parts formula. Here we show by the Markov property and by induction that the latter formula implies the integration by parts formula. WE also use Bismut's original approach to prove an integration by parts formula, using a connection with torsion and one on the free path space.

연구 동기 및 목표

• 컴 pact 리만다이언만드 위의 일반적인 확률적 과정에 대해 Elworthy와 Li(1994)의 적분 by parts 공식을 일반화하는 것.
• LeJan-Watanabe 접속의 리치 곡률을 통해 경로 공간 위의 적분 by parts와 기저 다양체의 기하학 사이의 연결 고리를 수립하는 것.
• 평행 이동과 확률적 흐름을 사용하여 적분 by parts 공식의 기하학적 해석을 제공하는 것.
• 결과를 자유 경로 공간으로 확장하고, 접속의 비대칭성 토르션 조건을 요구하지 않는 내재된 공식을 도출하는 것.
• 유도된 공식이 드라이버의 공식과 같은 알려진 결과들과 일관되며, 기하학적으로 유도된 새로운 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 이토의 공식과 마틴갈 계산을 사용하여 원통형 기능에 대해 적용 가능한 일반적인 적분 by parts 공식을 도출한다.
• 확률적 흐름 $ T\xi_t $ 의 도함수를 사용하여 경로 공간 위의 벡터장들을 정의하며, 이로 인해 벡터장 $ \bar{V}^h $ 와 그 산란 $ \delta \bar{V}^h $ 를 유도한다.
• 기르산로프-마루야마 정리를 적용하여 서로 다른 초기 흐름에 의해 유도된 측도 사이의 관계를 설정함으로써 측도 전환 방법을 가능하게 한다.
• 기본 다양체 위에서 초기 점들을 운반하기 위해 시간 연속적인 흐름의 가중치 집합 $ H_t^\tau $ 를 도입하여 흐름 매개변수에 대한 미분 가능성을 확보한다.
• 기본 다양체 $ M $ 에서 고전적인 스토크스 정리를 적용하여 기능의 도함수와 벡터장 $ h_0 $ 의 산란 사이의 관계를 설정한다.
• 정지 시간 $ \tau_R $ 와 $ L^{1+\epsilon} $ 적분 가능성에 의한 정규화를 사용하여 유계된 과정에서 일반적인 조정된 과정으로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴 pact 리만다이언만드 위의 유한차원 확률적 미분 계산을 통해 경로 공간 위의 적분 by parts 공식은 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 LeJan-Watanabe 접속의 리치 곡률은 경로 공간 위의 벡터장의 산란을 결정하는 데 어떤 기하학적 역할을 하는가?
• RQ3 확률적 흐름과 기저 다양체 위의 기하학적 흐름을 사용하여 자유 경로 공간으로 적분 by parts 공식을 확장할 수 있는가?
• RQ4 접속의 선택(메트릭 여부)이 적분 by parts 공식의 형태에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 유도된 공식과 드라이버의 적분 by parts 공식과 같은 알려진 결과들 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 경로 공간 위에서 일반적인 적분 by parts 공식을 도출한다: $ \mathbb{E} dF(T\xi_\cdot(h_\cdot)) = \mathbb{E} F(\xi_\cdot(x)) \int_0^T \langle T\xi_s(\dot{h}_s), X(\xi_s(x)) dB_s \rangle $, 원통형 기능에 대해 유효하다.
• 공식은 조정성과 메트릭 접속 조건을 만족할 경우 드라이버의 적분 by parts 공식으로 축소됨을 보이며, 토르션 비대칭성 조건을 요구하지 않는다.
• 산란 항목 $ \delta \bar{V}^h $ 는 명시적으로 $ \mathbb{E} \left[ \int_0^T \langle T\xi_s(\dot{h}_s), X(\xi_s(x)) dB_s \rangle \middle| \xi_\cdot(x) = \gamma \right] $ 로 표현되며, 확률적 해석을 제공한다.
• 자유 경로 공간의 경우 공식은 $ \mathbb{E} \int_M dF(T_x\xi_\cdot(h_\cdot(x))) dx = \mathbb{E} \int_M F(\xi_\cdot(x)) \left( -\text{div}\, h_0(x) + \int_0^T \langle T_x\xi_s(\dot{h}_s(x)), X(\xi_s(x)) dB_s \rangle \right) dx $ 로 확장된다.
• 정지 시간에 의한 정규화는 일반적인 $ L^{1+\epsilon} $-적분 가능 과정에 대해서도 수렴을 보장하며 결과의 강건성을 확보한다.
• 내재된 공식은 리치 흐름과 Dohrn-Guerra 평행 이동과 같은 알려진 기하학적 구조와 일관되며, 곡률이 확률적 분석에서 수행하는 역할을 부각시킨다.