[논문 리뷰] A class of left quantum groups modeled after SL_q(n)

Aaron Lauve, Earl J. Taft|ArXiv.org|2009. 08. 26.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 comatrix unit $X_{ij}$ 로 생성되는 left Hopf algebra인 $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ 를 구성한다. 이는 left antipode는 존재하지만 right antipode는 존재하지 않아, 양면으로 작용하지 않는 one-sided quantum group의 비자명한 예를 제공한다. 구성 과정은 양자 행렬식 관계의 비표준적 확장과 함께 이루어지며, left antipode가 right antipode가 아니라는 것을 증명함으로써, 이는 전체 Hopf algebra와 동형이 아닌 진정된 left Hopf algebra임을 입증한다.

ABSTRACT

For each n >1, we construct a left quantum group, i.e., a left Hopf algebra H generated by comatrix units X_{ij} and modeled after SL_q(n), which has a left antipode but no right antipode. The quantum special linear group SL_q(n) is a homomorphic image of our H.

연구 동기 및 목표

• comatrix unit $X_{ij}$ 로 생성되는 two-sided Hopf algebra가 아닌 left Hopf algebra를 구성하는 것, 특히 $\mathrm{SL}_q(n)$ 과 유사한 양자군을 모델로 삼는 것.
• comatrix unit $X_{ij}$ 로 생성된 비코무터티브 대수에 대해 left antipode $S$ 를 정의하여 $S \ast \mathbb{I} = \mu\varepsilon$ 이지만 $\mathbb{I} \ast S \neq \mu\varepsilon$ 임을 보장하는 것.
• 결과적으로 얻어진 대수 $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ 가 $\mathbb{I} \ast S \neq \mu\varepsilon$ 임을 보여, full Hopf algebra가 아님을 입증하는 것.
• 양자물리 및 보존-페르미온 대응과 관련된 one-sided quantum symmetry 를 모델링할 수 있는 구체적 예를 제공하는 것.

제안 방법

• comatrix unit $X_{ij}$, $1 \leq i,j \leq n$ 로 생성되는 자유 대수의 몫으로 $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ 를 정의하며, 이는 양자 행렬식 유사 공식에서 유도된 관계를 기반으로 한다.
• Diamond Lemma 를 사용하여 생성자들에 대한 비가역 단어들이 기저를 이룸을 입증함으로써, 잘 정의된 대수적 구조를 확보한다.
• 양자 수반 행렬을 통해 생성자들에 대해 left antipode $S$ 를 정의한다: $S(X_{ij}) = (-q)^{j-i} \mathrm{det}_q(X^{ji})$, 그리고 이를 단어의 순서를 뒤집는 방식으로 단항식으로 확장한다.
• 모든 비가역 단어 $w$ 에 대해 $m(S \otimes \mathbb{I})\Delta(w) = \varepsilon(w)1$ 이 성립함을 증명함으로써, $S$ 가 left antipode 임을 확인한다.
• 비가역 단어의 선형 독립성을 이용하여 $\sum_j X_{1j}S(X_{j1})$ 가 1과 같지 않음을 보임으로써 $\mathbb{I} \ast S \neq \mu\varepsilon$ 임을 증명한다.
• 튜플의 길이를 나타내는 기호 $\ell(I)$ 와 정의 관계에서 순열과 비순열을 구분하는 데 사용되는 $\delta_{I,\mathfrak{S}_n}$ 을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 comatrix unit을 생성자로 사용하여 two-sided Hopf algebra가 아닌 left Hopf algebra를 구성할 수 있는가?
• RQ2 $\mathrm{SL}_q(n)$ 과 유사한 양자군이 존재하여 left antipode는 존재하지만 right antipode는 존재하지 않는가?
• RQ3 비교환 대수에 대해 comatrix unit으로 생성된 대수에 대해 left antipode를 정의할 수 있으며, 이는 코알gebra의 반대형사상이 아닌가?
• RQ4 이러한 구조는 양자물리에 관련된 one-sided quantum symmetry 를 모델링하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 대수 $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ 는 comatrix unit $X_{ij}$ 로 생성되며, 양자 수반 행렬을 통한 정의에 의해 잘 정의된 left antipode $S$ 를 갖는다.
• left antipode는 $S \ast \mathbb{I} = \mu\varepsilon$ 를 만족함을 확인하여 $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ 이 left Hopf algebra 임을 입증한다.
• $\mathbb{I} \ast S$ 는 $\mu\varepsilon$ 와 같지 않으며, $\sum_j X_{1j}S(X_{j1})$ 가 비자명함을 보여, right antipode 가 존재하지 않음을 증명한다.
• 생성자들에 대한 비가역 단어들은 $\tilde{\mathrm{SL}}_q(n)$ 의 기저를 이룬다. 이는 대수가 잘 정의되고 기저에 대해 유한차원임을 보장한다.
• 양자 행렬식 관계 $D_I = (-q)^{-\ell(I)}\delta_{I,\mathfrak{S}_n}$ 는 감소 규칙의 오른쪽에 재조합 가능한 단어가 나타나지 않음을 보장한다.
• left antipode는 전반적으로는 대수의 반대형사상이 아니며, 단어 순서를 뒤집는 방식으로 정의되기 때문에 $S(ab) = S(b)S(a)$ 를 만족하지 않는다.