[논문 리뷰] A class of metrizable locally quasi-convex groups which are not Mackey

Dikran Dikranjan, Elena Martín Peinador외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 28.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 20인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 메트라이잭블로 국소 준볼록인 군이 LQC 클래스에서 매키 군이 되기 위해 완비성(completeness)이 필수적임을 보여준다. 특히, 연결된 컴acts 메트라이잭블 군 $ X \neq \{0\} $ 에 대해, $ c_0(X) $ 라는 비콤팩트, 메트라이잭블, 전콤팩트 군의 가족을 구성하며, 이 군들은 균일 위상으로 장비되었을 때 완비성과 메트라이잭블성을 갖지만 LQC에서 매키 군이 되지 않는다. 핵심 결과는 $ c_0(X) $ 에서의 곱위상이 동일한 쌍대군과 호환되지만, 더 엄격히 더 가늘은 국소 준볼록 위상보다 더 뚜렷이 더 가늘다는 점이며, 이는 매키 조건을 위반한다.

ABSTRACT

A topological group $(G,μ)$ from a class $\mathcal G$ of MAP topological abelian groups will be called a {\it Mackey group} in $\mathcal G$ if it has the following property: if $ν$ is a group topology in $G$ such that $(G,ν)\in \mathcal G$ and $(G,ν)$ has the same continuous characters, say $(G,ν)^{\wedge}=(G,μ)^{\wedge}$, then $ν\le μ$. If $ m{LCS}$ is the class of Hausdorff topological abelian groups which admit a structure of a locally convex topological vector space over $\mathbb R$, it is well-known that every metrizable $(G,μ) \in m{LCS}$ is a Mackey group in $ m{LCS}$. For the class $ m{LQC}$ of locally quasi-convex Hausdorff topological abelian groups, it was proved in 1999 that every {\bf complete} metrizable $(G,μ)\in m{LQC}$ is a Mackey group in $ m{LQC}$ (\cite{CMPT}). The completeness cannot be \NB dropped within the class $ m{LQC}$ as we prove in this paper. In fact, we provide a large family of metrizable precompact \NB(noncompact) groups which {\bf are not} Mackey groups in m{LQC} (Theorem ef{basth}). Those examples are constructed from groups of the form $c_0(X)$, whose elements are the null sequences of a topological abelian group $X$, and whose topology is the uniform topology. We first show that for a compact metrizable group $X e\{0\}$ the topological group $c_0(X)$ is a non-compact complete metrizable locally quasi-convex group, which has {\bf countable} topological dual iff $X$ is connected. Then we prove that for a connected compact metrizable group $X e\{0\}$ the group $c_0(X)$ endowed with the product topology induced from the product $X^{\N}$ is metrizable precompact but not a Mackey group in LQC.

연구 동기 및 목표

• 메트라이잭블 국소 준볼록 군이 LQC 클래스에서 매키 군이 되기 위해 완비성이 필요한지 조사하는 것.
• LQC 내에서 메트라이잭블 전콤팩트 군이 더 엄격한 호환 위상과 동일한 연속적 특성들을 갖는다 해도 매키 군이 아닐 수 있는지 판단하는 것.
• 연결된 컴팩트 메트라이잭블 군 $ X \neq \{0\} $ 에 대해, 영수열 $ c_0(X) $ 를 사용하여 LQC에서 매키 군이 되지 않는 명시적 예를 구성하는 것.

제안 방법

• 비자명한 컴팩트 메트라이잭블 군 $ X \neq \{0\} $ 에 대해, $ X^\mathbb{N} $ 내의 영수열의 부분군으로서 군 $ c_0(X) $ 를 구성하고, 이에 균일 위상을 부여하는 것.
• 이를 $ X^\mathbb{N} $ 에서 유도된 곱위상 $ \mathfrak{p}_0 $ 으로 장비하며, 이는 메트라이잭블이고 전콤팩트이지만 완비적이지 않음.
• $ c_0(X) $ 가 $ \mathfrak{p}_0 $ 에서 국소 준볼록이고 메트라이잭블임을 보이며, 그 쌍대군이 가산임은 $ X $ 가 연결일 때에만 성립함을 보임.
• $ \mathfrak{p}_0 $ 와 호환되며, 즉 $ (c_0(X), \mathfrak{p}_0)^\wedge = (c_0(X), \mathfrak{u}_0)^\wedge $ 를 만족하는, 더 엄격한 국소 준볼록 군 위상 $ \mathfrak{u}_0 $ 를 정의함으로써, $ \mathfrak{p}_0 $ 가 최고의 호환 위상가 아님을 증명함.
• 자연수 집합 $ \mathbb{N} $ 에서의 초필터 극한을 사용하여 $ X^\mathbb{N} $ 에서 $ X $ 로의 연속적 준동형사상들을 비가산 개로 구성함으로써, $ X^\mathbb{N} $ 가 최소 $ 2^{\mathfrak{c}} $ 개의 연속적 준동형사상을 갖는다는 점을 보이며, 이는 $ c_0(X) $ 가 $ \mathfrak{p}_0 $ 에서 매키 성질을 위반함을 뒷받침함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메트라이잭블 국소 준볼록 군이 LQC 클래스에서 매키 군이 되기 위해 완비성이 필수적인가?
• RQ2 LQC 내에서 메트라이잭블 전콤팩트 군이 더 엄격한 호환 위상과 동일한 연속적 특성을 갖는다 해도 매키 군이 아닐 수 있는가?
• RQ3 연결된 컴팩트 메트라이잭블 군 $ X \neq \{0\} $ 에 대해, 곱위상으로 장비된 $ c_0(X) $ 가 LQC에서 매키 군이 되지 않는가?
• RQ4 $ c_0(X) $ 의 위상적 쌍대군과 $ X $ 의 구조, 특히 연결성과의 관계는 무엇인가?
• RQ5 비가산 쌍대군을 갖는 곱군 $ X^\mathbb{N} $ 의 성질을 활용하여, 원래 위상보다 더 엄격한 호환 위상을 구성할 수 있는가? 이 경우 매키 성질이 위반되는가?

주요 결과

• 연결된 컴팩트 메트라이잭블 군 $ X \neq \{0\} $ 에 대해, 곱위상 $ \mathfrak{p}_0 $ 에서 $ c_0(X) $ 는 메트라이잭블, 전콤팩트, 국소 준볼록 군이지만 LQC에서 매키 군이 아님.
• 쌍대군이 동일한 더 엄격한 국소 준볼록 군 위상 $ \mathfrak{u}_0 $ 가 존재하여 $ (c_0(X), \mathfrak{p}_0)^\wedge = (c_0(X), \mathfrak{u}_0)^\wedge $ 를 만족함으로써 매키 조건 $ \nu \leq \mu $ 가 위반됨.
• 쌍대군이 가산임은 $ X $ 가 연결일 때에만 성립하며, 이는 반례의 핵심적인 구조적 조건임.
• 곱위상에서의 군 $ X^\mathbb{N} $ 는 최소 $ 2^{\mathfrak{c}} $ 개의 연속적 준동형사상을 $ X $ 로 갖으며, 이는 비가산 쌍대군을 의미함. 이는 다수의 호환 위상 존재를 뒷받침함.
• 반례는 1999년의 결과인 '완비인 메트라이잭블 국소 준볼록 군은 LQC에서 매키 군이다' 라는 정리에서 완비성을 생략할 수 없음을 시사함.
• 이 구성은 LQC 내에서 메트라이잭블 전콤팩트 매키 군이 아닌 군의 큰 가족을 제공하며, 아벨 군에 대한 매키 위상 이론의 격차를 해결함.