[논문 리뷰] A Class of Nonbinary Codes and Their Weight Distribution

Xiangyong Zeng, Nian Li외 1명|ArXiv.org|2008. 02. 23.

Coding theory and cryptography참고 문헌 23인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 홀수 소수 $p$에 대해 $p$-진 비이진 코드 $Π^k$의 새로운 클래스를 도입하며, 유한체 위에서의 추적 함수와 이차형식을 통해 정의되며, 조건 $τ(n/2,k) = τ(n/2-k,2k) = d$ 이면서 $d$ 가 홀수일 때 그 무게 분포를 완전히 규명한다. 주요 기여는 무게 분포의 명시적 규명과 주기 $p^n - 1$이며 최대 상관관계가 $p^{n/2 + d} + 1$인 $p^{3n/2}$개의 비이진 수열 가족의 구축으로, 이는 홀수 특성에서 이진 카사미 수열을 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper, for an even integer $n\geq 4$ and any positive integer $k$ with ${ m gcd}(n/2,k)={ m gcd}(n/2-k,2k)=d$ being odd, a class of $p$-ary codes $\mathcal{C}^k$ is defined and their weight distribution is completely determined, where $p$ is an odd prime. As an application, a class of nonbinary sequence families is constructed from these codes, and the correlation distribution is also determined.

연구 동기 및 목표

• 이진 카사미 코드의 구축을 홀수 소수 체 위의 비이진 코드로 확장하기 위해.
• 특정 수론적 조건, 즉 $k$와 $n$에 대한 조건 하에서 $p$-진 순환 코드 $Π^k$의 완전한 무게 분포를 규명하기 위해.
• 코드의 구조를 응용하여 저상관관계 및 명시적으로 규명된 상관관계 분포를 갖는 비이진 수열 가족을 구축하기 위해.
• 이진 카사미 수열의 성질을 홀수 $p$에 대해 $τ_p$에서 비이진 경우로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 코드 $Π^k$를 벡터의 집합으로 정의한다: $c(\gamma,\delta,\epsilon) = \big(\Pi_{\gamma,\delta}(x) + \operatorname{Tr}^n_1(\epsilon x)\big)_{x \in \mathbb{F}_{p^n}^*}$, 여기서 $\Pi_{\gamma,\delta}(x)$는 $x^{p^{n/2}+1}$과 $x^{p^k+1}$를 포함하는 추적 함수의 합이다.
• 지수 합의 성질과 방정식 $\delta^{p^{n-k}}y^{p^{n/2-k}+1} + \gamma y + \delta = 0$의 근을 분석하여 $\Pi_{\gamma,\delta}(x)$의 이차형식의 질량을 분석한다. 이때 $\gamma\delta \neq 0$이다.
• 홀수 특성의 유한체 위에서의 이차형식 이론을 사용하여, $τ$ 조건에 따라 $\Pi_{\gamma,\delta}$의 질량을 $n$, $n-d$, 또는 $n-2d$로 분류한다.
• 지수 합 $S(\gamma,\delta,\epsilon) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{p^n}^*} \psi(\Pi_{\gamma,\delta}(x) + \operatorname{Tr}^n_1(\epsilon x))$의 평가를 통해 무게 분포를 계산한다. 여기서 $\psi$는 비자명한 덧셈적 특성이다.
• 지수 합 $S(\gamma,\delta,\epsilon) - 1$ 이 $τ_{p^m} \times \mathbb{F}_{p^n} \times (\mathbb{F}_{p^n} \setminus \{1\})$ 위에서의 분포를 분석하여 수열 가족 $Π^k$의 상관관계 분포를 유도한다.
• 코드 $Π^k$의 코드어를 사용하여 주기 $p^n - 1$인 $p^{3n/2}$개의 수열로 이루어진 수열 가족 $Π^k$를 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 소수 $p$에 대해 조건 $τ(n/2,k) = τ(n/2-k,2k) = d$ 이면서 $d$ 가 홀수일 때, $p$-진 코드 $Π^k$의 완전한 무게 분포는 무엇인가?
• RQ2 유한체 위에서의 지수 합과 홀수 특성의 이차형식 성질을 사용하여 $Π^k$의 무게 분포를 규명할 수 있는가?
• RQ3 코드 $Π^k$에서 유도된 수열 가족 $Π^k$의 상관관계 분포는 무엇인가?
• RQ4 수열 가족 $Π^k$의 최대 상관관계 크기는 $n$, $k$, $p$의 매개변수에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 이진 카사미 수열의 구축 방식을 홀수 소수 $p$에 대해 $τ_p$에서 비이진 수열로 일반화할 수 있는가, 그리고 유사한 상관관계 성질을 갖는가?

주요 결과

• 조건 $τ(n/2,k) = τ(n/2-k,2k) = d$ 이면서 $d$ 가 홀수일 때, $p$-진 코드 $Π^k$의 무게 분포는 완전히 규명되었으며, 세 가지 가능한 무게가 존재한다: $p^{n-1}(p-1) - p^{n/2}$, $p^{n-1}(p-1) - p^{n/2 - d}$, $p^{n-1}(p-1) - p^{n/2 + d}$.
• 코드 $Π^k$는 길이 $p^n - 1$이며 차원 $5n/2$를 가지며, $d=1$일 때 최소 거리가 $(p-1)p^{n-1} - p^{n/2}$에 도달한다.
• 수열 가족 $Π^k$는 $p^{3n/2}$개의 수열로 이루어져 있으며, 각 수열의 주기는 $p^n - 1$이며, 최대 상관관계 크기는 $p^{n/2 + d} + 1$이다.
• 수열 가족 $Π^k$의 상관관계 분포는 표 4에 상세히 기재된 바와 같이 $5p + 2$개의 서로 다른 값을 취하며, 이는 $Π^k$의 무게 분포로부터 명시적으로 유도된다.
• 일 때 $d=1$이면 최대 상관관계 크기는 $p^{n/2 + 1} + 1$이며, 가족 크기는 $p^{3n/2}$로, 이는 이진 카사미 수열의 성질을 비이진 설정에서 그대로 유지한다.
• 주기 $\leq (p^n - 1)/2$인 수열을 피함으로써 전체 주기 수열을 확보하고 최적의 상관관계 성질을 보장한다.