[논문 리뷰] A class of repeated-root constacyclic codes over $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e angle$ of Type $2$

Yuan Cao, Yonglin Cao외 4명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 15.

Coding theory and cryptography참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 체 고리 $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$ 위에서 길이 $np^k$인 $(\delta + \alpha u^2)$-반복근 상수순환 코드의 완전한 대수적 특성화를 제공한다. 여기서 $p$는 홀수 소수이고, $e \geq 4$는 짝수이며 $\gcd(n,p) = 1$이다. 논문은 명시적인 표현을 제시하고, 이러한 코드와 그 이중 코드의 수를 결정하며, 특히 길이 $p^k$인 경우를 포함해 이러한 코드의 구조를 완전히 기술한다. 주요 기여는 이 Type 2 반복근 상수순환 코드의 완전한 분류와 수세기이다.

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}_{p^m}$ be a finite field of cardinality $p^m$ where $p$ is an odd prime, $n$ be a positive integer satisfying ${ m gcd}(n,p)=1$, and denote $R=\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e angle$ where $e\geq 4$ be an even integer. Let $δ,α\in \mathbb{F}_{p^m}^{ imes}$. Then the class of $(δ+αu^2)$-constacyclic codes over $R$ is a significant subclass of constacyclic codes over $R$ of Type 2. For any integer $k\geq 1$, an explicit representation and a complete description for all distinct $(δ+αu^2)$-constacyclic codes over $R$ of length $np^k$ and their dual codes are given. Moreover, formulas for the number of codewords in each code and the number of all such codes are provided respectively. In particular, all distinct $(δ+αu^2)$-contacyclic codes over $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^{e} angle$ of length $p^k$ and their dual codes are presented precisely.

연구 동기 및 목표

• 홀수 소수 $p$, 짝수 $e \geq 4$, $\gcd(n,p) = 1$인 경우 유한 체 고리 $R = \mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$ 위에서 $(\delta + \alpha u^2)$-상수순환 코드의 완전한 구조적 기술 제공.
• 길이 $np^k$인 $(\delta + \alpha u^2)$-상수순환 코드의 명시적 표현을 유도하고, 이들 코드의 수를 결정.
• 이러한 상수순환 코드의 이중 코드를 특성화하고 그 대수적 구조를 확립.
• 길이가 소수의 거듭제곱인 경우, 즉 $p^k$일 때 이러한 코드의 정확한 분류와 수세기를 제시.
• 간단한 근과 $e=2$의 경우를 초월하여 비자명한 유한 체 고리에서 Type 2 반복근 상수순환 코드의 이해를 확장.

제안 방법

• 저자들은 특히 $R = \mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$와 그 갈로아 고리 유사 분해 간의 동형을 활용하는, 유한 체 고리의 대수적 구조 이론을 사용한다.
• 다음과 같은 링 동형을 활용한다: $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle \cong \mathbb{F}_{p^m}[\pi]/\langle \pi^e \rangle$이며, 여기서 $\pi$는 기본 기약 다항식의 근이다. 이를 통해 $\pi$-adic 전개를 사용할 수 있다.
• 이 방법은 잔여체 $\mathbb{F}_{p^m}$에서 링 $R$로 코드를 $\pi$-adic 전개를 통해 올리고, 환 $R[x]/\langle x^{np^k} - (\delta + \alpha u^2) \rangle$의 아이디얼 구조를 분석하는 데 포함된다.
• 저자들은 헨젤 상승 이론을 적용하고, $\delta + \alpha u^2$가 Type 2 단위임을 이용하여 환을 분해하고 모든 아이디얼을 분류한다.
• 저자들은 $u$의 영함수성과 $\mathbb{F}_{p^m}$-대수의 구조에 기반한 재귀적 올림 과정을 통해 이러한 코드의 명시적 생성자를 도출한다.
• 이중성은 표준 내적을 통해 분석되며, 이중 코드의 구조는 상수순환 이동 매개변수의 역수인 $\gamma^{-1}$를 사용하여 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 $p$, 짝수 $e \geq 4$, $\gcd(n,p) = 1$ 조건 하에서 $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$ 위에서 길이 $np^k$인 $(\delta + \alpha u^2)$-상수순환 코드의 완전한 대수적 구조는 무엇인가요?
• RQ2 이 링 위에서 길이 $np^k$인 서로 다른 $(\delta + \alpha u^2)$-상수순환 코드는 총 몇 개인가요? 정확한 수는 얼마인가요?
• RQ3 각 $(\delta + \alpha u^2)$-상수순환 코드의 이중 코드는 어떤 구조를 가지며, 원래 코드와 어떻게 관련되어 있나요?
• RQ4 매개변수 $\delta, \alpha, e, p, k, n$의 다양한 경우에 따라 이러한 코드의 생성자와 기수는 어떻게 변화합니까?
• RQ5 길이가 $p^k$인 특수한 경우에 대해 완전하고 명시적인 분류를 달성할 수 있나요?

주요 결과

• 길이 $np^k$인 $(\delta + \alpha u^2)$-상수순환 코드의 수는 $p^{m \cdot (e-2) \cdot (k-1)} \cdot \left| \mathbb{F}_{p^m}^\times \right|^{e-2}$이며, 생성자 구조에 포함된 매개변수 선택 수에서 유도된다.
• 길이 $p^k$인 경우, 특정 조건 하에서 서로 다른 $(\delta + \alpha u^2)$-상수순환 코드의 수는 $5^{2l+1}$이며, 표본 1에 나열된 바와 같이 특정 값(예: 5, 15, 75 등)에 따라 달라진다.
• $(\delta + \alpha u^2)$-상수순환 코드의 이중 코드는 $(\delta^{-1} + \alpha^{-1} u^2)$-상수순환 코드이며, 역수 매개변수와 이중 생성자 아이디얼을 통해 명시적으로 기술된다.
• 각 코드의 기수는 $|\mathcal{C}| = p^{m \cdot (e-2) \cdot (k-1)} \cdot p^{m \cdot (e-2) \cdot (k-1)} \cdot |\mathbb{F}_{p^m}|^{\text{rank}}$이며, 정확한 크기는 경우에 따라 다르며 생성자 수에 따라 달라진다.
• 논문은 $\mathbb{F}_5[u]/\langle u^e\rangle$ 위에서 길이 $p^k$인 코드에 대해 총 15개의 서로 다른 경우(예: iv-1-1에서 iv-3-5까지)를 완전히 제시하며, 각 경우에 대해 명시적 생성자와 이중 코드를 포함한다.
• 코드의 구조는 매개변수 $b, h, l, l_0, l_1$의 선택에 의해 완전히 결정되며, $\pi$-adic 전개의 사용은 환 내의 모든 아이디얼을 재귀적이고 체계적으로 구성하는 데 기여한다.