[논문 리뷰] A class of simple weight Virasoro modules

Genqiang Liu, Rencai Lü외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $r \geq 1$ 인 유한차원 비아벨 리 대수 $\mathfrak{a}_r$ 위의 기약 모듈 $M$ 에서 유도하여 새로운 단순 가중 Virasoro 모듈 $\mathcal{N}(M,\alpha)$ 를 구성한다. 주요 결과는 단순성과 동형에 대한 필요충분조건을 제시하며, 무한히 많은 새로운 기약 가중 및 비가중 Virasoro 모듈을 제공한다. 이는 $\mathbb{C}[x] \otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ 상의 명시적 예와 휘어진 방법을 통한 비가중 모듈을 포함한다.

ABSTRACT

For a simple module $M$ over the positive part of the Virasoro algebra (actually for any simple module over some finite dimensional solvable Lie algebras $\mathfrak{a}_r$) and any $α\in\C$, a class of weight modules $\mathcal {N}(M, α)$ over the Virasoro algebra are constructed. The necessary and sufficient condition for $\mathcal {N}(M, \a)$ to be simple is obtained. We also determine the necessary and sufficient conditions for two such irreducible Virasoro modules to be isomorphic. Many examples for such irreducible Virasoro modules with different features are provided. In particular the irreducible weight Virasoro modules $Γ(α_1, α_2, λ_1, λ_2)$ are defined on the polynomial algebra $\C[x]\otimes \C[t, t^{-1}]$ for any $α_1, α_2, λ_1, λ_2\in\C$ with $λ_1$ or $λ_2$ nonzero. By twisting the weight modules $\mathcal {N}(M, α)$ we also obtain nonweight simple Virasoro modules $\mathcal {N}(M, β)$ for any $β\in\C[t,t^{-1}]$.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 가중 공간을 갖는 새로운 기약 가중 Virasoro 모듈의 큰 클래스를 구성하는 것.
• 이러한 모듈이 단순해지기 위한 필요충분 조건을 제공하고, 그 동형류를 분류하는 것.
• 비가중 기약 Virasoro 모듈을 휘어짐을 통해 확장하는 것.
• 새로운 모듈이 이전에 알려진 어떤 기약 Virasoro 모듈과도 동형이 아니라는 것을 보여주는 것.
• 다항식 대수 위에서 이러한 모듈의 명시적 실현, 특히 $\Gamma(\alpha_1,\alpha_2,\lambda_1,\lambda_2)$ 를 제공하는 것.

제안 방법

• $\mathcal{N}(M,\alpha) = M \otimes \mathbb{C}[t^{\pm 1}]$ 에 Virasoro 모듈의 구조를 정의하며, $d_m(v \otimes t^n) = \left(\alpha + n + \sum_{i=0}^r \frac{m^{i+1}}{(i+1)!} \bar{d}_i\right)v \otimes t^{n+m}$ 라는 작용을 사용하고, $c$ 는 영으로 작용한다.
• $\mathcal{N}(M,\alpha)$ 가 Virasoro 모듈임을 증명하기 위해, 특히 $[d_m, d_k]$ 의 교환관계를 검증한다.
• $M$ 이 무한차원 기약 $\mathfrak{a}_r$-모듈이면서 $r \geq 1$ 이면 $\mathcal{N}(M,\alpha)$ 가 단순함을 보이며, 이는 $M$ 의 기약성과 $d_i$ 연산자의 작용을 이용한다.
• $\omega_{l,m}^{(2r+2)}$ 연산자를 사용하여 새로운 모듈이 기존의 것들과 다름을 보이며, 비영인 벡터 위에서의 비영 작용을 보인다.
• 모든 $\beta \in \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ 에 대해 비가중 모듈 $\mathcal{N}(M,\beta)$ 를 휘어짐을 통해 구성하며, 단순성을 유지한다.
• 새로운 모듈을 중간 시리즈, 텐서곱, 위트커 모듈, 와일 모듈과 비교하여, 서로 다른 연산자 작용을 통해 동형이 아님을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Virasoro 대수 위에서 구성된 모듈 $\mathcal{N}(M,\alpha)$ 가 언제 단순해지는가?
• RQ2 두 모듈 $\mathcal{N}(M,\alpha)$ 와 $\mathcal{N}(M',\alpha')$ 이 Virasoro 모듈로서 언제 동형이 되는가?
• RQ3 새로운 가중 모듈 $\mathcal{N}(M,\alpha)$ 는 무한차원 가중 공간을 갖는 이전에 알려진 기약 Virasoro 모듈과 동형인가?
• RQ4 이러한 구성은 비가중 기약 Virasoro 모듈로 확장될 수 있으며, 새로운 모듈을 생성하는가?
• RQ5 새로운 모듈 $\mathcal{N}(M,\beta)$ 는 [LZ], [MW], 또는 [MZ3] 에서 알려진 비가중 모듈들과는 다른 연산자 항등식을 만족하는가?

주요 결과

• $\mathcal{N}(M,\alpha)$ 는 $M$ 이 $\mathfrak{a}_r$ 위의 무한차원 기약 모듈이면서 $r \geq 1$ 이고 $\alpha \in \mathbb{C}$ 가 임의일 때에만 단순하다.
• $\mathcal{N}(M,\alpha)$ 와 $\mathcal{N}(M',\alpha')$ 가 동형이 되는 것은 $M \cong M'$ 이며 $\alpha = \alpha'$ 일 때에만 성립한다.
• 기약 가중 Virasoro 모듈 $\Gamma(\alpha_1,\alpha_2,\lambda_1,\lambda_2)$ 는 $\lambda_1$ 또는 $\lambda_2$ 가 영이 아닐 때 $\mathbb{C}[x] \otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ 상에 실현된다.
• 모든 $\beta \in \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ 에 대해 비가중 기약 Virasoro 모듈 $\mathcal{N}(M,\beta)$ 가 구성되며, $\dim M > 1$ 이고 $\beta \notin \mathbb{C}$ 일 때에는 새로운 것으로 밝혀진다.
• $\mathcal{N}(M,\beta)$ 는 [LZ], [MW], 또는 [MZ3] 에서 알려진 비가중 모듈과 동형이 아니며, 이는 $\omega_{l,m}^{(2r+2)}$ 연산자의 작용에서 서로 다른 항등식을 만족하기 때문이다.
• $\mathcal{N}(M,\beta)$ 에서 $\omega_{l,m}^{(2r+2)}$ 의 작용은 모든 비영인 벡터에서 비영이며, [MZ3] 또는 [LZ] 의 알려진 모듈에서는 이 작용이 영이 되므로, 이는 동형이 아님을 증명한다.