[논문 리뷰] A class of three-weight and five-weight linear codes

Fei Li, Qiuyan Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 21.

Coding theory and cryptography참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특정 정의 집합 $D = \{x \in \mathbb{F}_q^* : \mathrm{Tr}(x^2 + x) = 0\}$를 사용하여 추적 함수를 통해 $\mathbb{F}_p$ 위의 선형 코드 ${\mathcal{C}}_D$를 정의함으로써, 세 가지 또는 다섯 가지 무게를 가진 선형 코드의 클래스를 구성한다. 여기서 $q = p^m$이다. 주요 기여는 $m$과 $p$에 대한 다양한 조건 하에서 이러한 코드의 무게 분포를 완전히 규명한 것으로, $m \geq 5$일 경우 코드가 $w_{\min}/w_{\max} > (p-1)/p$를 만족함을 보여, 비밀 분배 체계에 응용할 수 있음을 입증한다.

ABSTRACT

Recently, linear codes with few weights have been widely studied, since they have applications in data storage systems, communication systems and consumer electronics. In this paper, we present a class of three-weight and five-weight linear codes over Fp, where p is an odd prime and Fp denotes a finite field with p elements. The weight distributions of the linear codes constructed in this paper are also settled. Moreover, the linear codes illustrated in the paper may have applications in secret sharing schemes.

연구 동기 및 목표

• 유한체 $\mathbb{F}_p$ 위에서 적은 무게 수(세 또는 다섯)를 가진 선형 코드를 구성하여 부호 이론 및 암호학 응용에 활용하는 것.
• 특히 $m$ 이외 또는 홀수일 때, $p$가 $m$을 나누거나 나누지 않을 때의 경우에 따라 이러한 코드의 정확한 무게 분포를 규명하는 것.
• 무게 비율 $w_{\min}/w_{\max}$를 분석하여 비밀 분배 체계에 응용 가능한 조건을 설정하는 것.
• 유한체 내에서 추적 함수와 정의 집합을 사용한 이전의 적은 무게 코드 구성 방법을 일반화하는 것.

제안 방법

• 정의 집합 $D$는 $\mathbb{F}_q$의 비영인 원소들 중에서 $\mathrm{Tr}(x^2 + x) = 0$을 만족하는 원소들의 집합이며, 코드 ${\mathcal{C}}_D$는 $\{ (\mathrm{Tr}(x d_1), \dots, \mathrm{Tr}(x d_n)) \mid x \in \mathbb{F}_q \}$로 정의된다.
• 무게 분포는 가우스 합과 특성 합의 성질을 이용하여 유도되며, 특히 이차 특성 $\eta$와 추적 함수 $\mathrm{Tr}$가 포함된다.
• 무게별 코드어 수는 레미마 14, 15, 17, 18, 24를 활용하여 계산되며, 이는 $x d_i$의 추적 값과 $b \in \mathbb{F}_q$에 대한 $\mathrm{Tr}(b)$ 및 $\mathrm{Tr}(b^2)$의 값을 관련짓는다.
• 코드의 매개변수, 즉 길이, 차원, 최소 거리는 정의 집합 $D$의 크기와 추적 함수의 상의 범위에 기반하여 결정된다.
• 무게 생성함수는 첫 번째 두 개의 플레스 파wer 모멘트에서 유도된 연립방정식을 풀어 계산되며, 총 코드어 수와 무게의 합과의 일致를 보장한다.
• 이론적 분석에서는 항등식 $G = -(-1)^{m(p-1)/4} p^{m/2}$를 사용하여 무게의 빈도를 $p$, $m$, 그리고 가우스 합의 형태로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정의 집합 $D = \{x \in \mathbb{F}_q^* : \mathrm{Tr}(x^2 + x) = 0\}$를 가진 선형 코드 ${\mathcal{C}}_D$의 무게 분포는 $\mathbb{F}_p$ 위에서 어떻게 되는가?
• RQ2 코드 ${\mathcal{C}}_D$의 매개변수와 무게 분포는 $m$이 짝수인지 홀수인지, 그리고 $p$가 $m$을 나누는지 여부에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 세 또는 다섯 가지 무게를 가진 구성된 코드는 비밀 분배 체계에 사용될 수 있으며, 어떤 조건에서 가능할까?
• RQ4 이러한 코드의 최소 거리와 비율 $w_{\min}/w_{\max}$의 정확한 값은 무엇이며, $(p-1)/p$를 초월하는가?
• RQ5 가우스 합과 특성 합은 어떻게 정확한 무게 분포 계산에 기여하는가?

주요 결과

• 모든 $m > 2$인 짝수이고 $p \mid m$일 경우, 코드 ${\mathcal{C}}_D$는 $[p^{m-1} - 1 + p^{-1}(p-1)G, m]$ 매개변수를 가지며, 세 가지 무게를 가진다. 여기서 $G = -(-1)^{m(p-1)/4} p^{m/2}$이다.
• 모든 $m$이 짝수이고 $p \nmid m$일 경우, 코드 ${\mathcal{C}}_D$는 $[p^{m-1} - p^{-1}G - 1, m]$ 매개변수를 가지며 다섯 가지 무게를 가지며, 표 2에 무게 분포가 완전히 규명되어 있다.
• 모든 $m$이 홀수이고 $p \mid m$일 경우, 코드 ${\mathcal{C}}_D$는 매개변수 $[p^{m-1} - 1, m]$을 가지며 다섯 가지의 서로 다른 비영 무게를 가지며, 표 3에 자세히 기재되어 있다.
• 모든 $m \geq 5$일 경우, 코드의 비율 $w_{\min}/w_{\max}$는 $(p-1)/p$를 초월하며, 흥미로운 액세스 구조를 가진 비밀 분배 체계를 구성하는 데 필요한 조건을 만족한다.
• 매개변수 $(p,m) = (3,6)$인 코드는 길이 260, 차원 6, 최소 거리 162이며, 무게 생성함수 $1 + 98x^{162} + 324x^{171} + 306x^{180}$을 가진다.
• 매개변수 $(p,m) = (3,4)$인 코드는 길이 29, 차원 4, 최소 거리 18이며, 코드표에 따르면 최적의 성능을 가지며, 무게 생성함수 $1 + 44x^{18} + 30x^{21} + 6x^{24}$를 가진다.