[논문 리뷰] A Class of Two-Weight and Three-Weight Codes and Their Applications in Secret Sharing

Kelan Ding, Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 23.

Coding theory and cryptography참고 문헌 20인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 GF(p) 위에서 트레이스 함수 Tr(x²) = 0을 정의 집합으로 사용하여 두 무게 및 세 무게 선형 코드의 클래스를 구성하며, 최적 또는 near-optimal 매개변수를 갖는 코드를 도출한다. 주요 기여는 이러한 코드를 기반으로 한 비밀 분배 기반의 암호화 시스템에서, 이들의 쌍대 코드가 최소 무게의 코드어를 생성하고 잘 정의된 접근 구조를 갖는다는 점이며, 특히 m ≥ 5 또는 m ≥ 6일 경우에 해당한다.

ABSTRACT

In this paper, a class of two-weight and three-weight linear codes over $\gf(p)$ is constructed, and their application in secret sharing is investigated. Some of the linear codes obtained are optimal in the sense that they meet certain bounds on linear codes. These codes have applications also in authentication codes, association schemes, and strongly regular graphs, in addition to their applications in consumer electronics, communication and data storage systems.

연구 동기 및 목표

• 트레이스 함수를 사용하여 GF(p) 위에서 새로운 두 무게 및 세 무게 선형 코드의 클래스를 구성하기.
• 이러한 코드가 구조화된 접근 제어를 갖는 비밀 분배 기반 시스템에 어떻게 적용될 수 있는지 조사하기.
• 이 코드들이 선형 코드에 대한 알려진 경계를 충족하거나 최적임을 입증하기.
• 강한 정규 그래프, 연관성 기반 시스템, 그리고 인증 코드와의 연결 고리 탐색하기.
• 이 코드어의 완전한 무게 분포가 가우스 합을 통해 유도될 수 있음을 보여주어, 향후 암호 기반 응용을 가능하게 하기

제안 방법

• D = {x ∈ GF(q)* : Tr(x²) = 0}일 때, 코드 CD를 GF(q)에 속하는 모든 x에 대해 (Tr(xd₁), ..., Tr(xdn))의 벡터 집합으로 정의한다.
• GF(q)에서 GF(p)로의 트레이스 함수 Tr의 성질과 이차 형식의 성질을 이용하여 무게 분포를 유도한다.
• 가우스 합을 활용하여 코드의 완전한 무게 분포를 계산하며, 이는 인증 코드 설계에 핵심적이다.
• 비밀 분배 기반 시스템에서 접근 구조를 결정하기 위해 쌍대 코드의 코드어의 최소성 특성을 분석한다.
• 원래 코드에서 GF(p)*-동치를 제거함으로써 더 짧은 코드를 얻기 위해 패리티를 제거한다.
• m ≥ 5(홀수) 또는 m ≥ 6(짝수)일 경우, 쌍대 코드의 모든 비영 코드어가 최소임을 증명하여 잘 정의된 접근 구조를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Tr(x²)를 사용하여 GF(p) 위에서 두 무게 및 세 무게 코드의 클래스를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 코드들이 최소 거리 및 크기 측면에서 최적 또는 near-optimal 매개변수를 달성하는가?
• RQ3 이 코드어의 완전한 무게 분포는 무엇이며, 가우스 합을 통해 계산할 수 있는가?
• RQ4 이 선형 코드의 쌍대 코드가 최소 접근 구조를 갖는 비밀 분배 기반 시스템으로 이어지는가?
• RQ5 이 코드어를 사용하여 새로운 인증 코드, 연관성 기반 시스템, 또는 강한 정규 그래프를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 홀수 m > 1일 경우, 코드 CD는 매개변수 [p^{m-1} - 1, m]을 가지며, 세 개의 비영 무게를 갖는다. 이 무게 분포는 표 I에 명시적으로 계산되어 있다.
• 짝수 m ≥ 2일 경우, 코드 CD는 매개변수 [p^{m-1} - (-1)^{(p-1)²m/4} (p-1)p^{(m-2)/2} - 1, m]을 가지며, 무게 분포는 표 II에 기재되어 있다.
• 패리티 처리된 코드 C_D̄는 매개변수 [(p^{m-1} - 1)/(p - 1), m]을 가지며, 홀수 m > 1일 경우 무게 분포는 표 III에 제시되어 있다.
• m ≥ 5일 경우, 쌍대 코드 C_D̄⊥의 모든 비영 코드어는 최소이며, 이는 p^{m-2}명의 참가자와 p^{m-1}개의 최소 접근 집합을 갖는 비밀 분배 기반 시스템을 이끈다.
• p = 5, m = 5인 예제 5에서, 시스템은 125명의 참가자, 625개의 최소 접근 집합을 가지며, 각 참가자는 이러한 집합들 중 500개에 속해 있다.
• 이 코드어는 알려진 선형 코드 경계를 충족하므로 최적임을 입증하며, 그 완전한 무게 분포는 가우스 합을 통해 유도 가능하다.